Derivada da função seno:
f(x)=\operatorname{sen}(u)
f^{\prime}(x)=\cos (u) \cdot u^{\prime}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
Temos a função composta f definida por f(x)=\sin\big(u(x)\big). O objetivo é encontrar a derivada f^{\prime}(x).
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): u é uma função de x diferenciável em torno do ponto onde queremos derivar (ou seja, u'(x) existe). Nada mais é pedido além da expressão da derivada de f.

Passo 2

Recordando a definição de derivada que vamos usar.
A derivada de uma função f em x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui, aplicaremos essa definição diretamente à função f(x)=\sin\big(u(x)\big).

Passo 3

Escrevendo o quociente incremental de f.
Substituindo na definição:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sin\big(u(x+h)\big)-\sin\big(u(x)\big)}{h}.
Para simplificar, definimos a variação \Delta u por
\Delta u:=u(x+h)-u(x).
Como u é diferenciável em x, temos \Delta u\to 0 quando h\to 0.

Passo 4

Manipulação algébrica-canonica que facilita o limite (truque fundamental).
Dividimos e multiplicamos por \Delta u (desde que \Delta u\neq0, e no limite isso é válido):
\frac{\sin\big(u(x+h)\big)-\sin\big(u(x)\big)}{h} = \frac{\sin\big(u(x)+\Delta u\big)-\sin\big(u(x)\big)}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h}.
Agora vemos o produto de dois fatores: o primeiro é uma diferença quociente de \sin em torno de u(x) e o segundo é justamente \dfrac{\Delta u}{h}.

Passo 5

Passando ao limite e interpretando cada fator.
Tomamos o limite quando h\to 0. Como \Delta u\to0, a primeira fração tem limite que é a derivada de \sin no ponto u(x), e a segunda fração tende a u'(x) por definição de derivada de u. Assim
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sin\big(u(x+h)\big)-\sin\big(u(x)\big)}{h} = \left(\lim_{\Delta u\to0}\frac{\sin\big(u(x)+\Delta u\big)-\sin\big(u(x)\big)}{\Delta u}\right)\cdot\left(\lim_{h\to0}\frac{\Delta u}{h}\right).
O segundo limite é
\lim_{h\to0}\frac{\Delta u}{h}=u'(x).
O primeiro limite é a derivada da função t\mapsto\sin t no ponto t=u(x). Precisamos, então, calcular essa derivada para concluir.

Passo 6

Cálculo da derivada de \sin t (ou seja, mostrar que (\sin t)'=\cos t).
Usamos a definição:
\frac{d}{dt}\sin t=\lim_{k\to0}\frac{\sin(t+k)-\sin t}{k}.
Aplicando a fórmula de adição para seno:
\sin(t+k)-\sin t=\sin t(\cos k-1)+\cos t\sin k.
Dividindo por k e passando ao limite:
\lim_{k\to0}\frac{\sin(t+k)-\sin t}{k} = \sin t\cdot\lim_{k\to0}\frac{\cos k-1}{k} + \cos t\cdot\lim_{k\to0}\frac{\sin k}{k}.
Agora usamos dois limites trigonométricos clássicos:
\lim_{k\to0}\frac{\sin k}{k}=1, \qquad \lim_{k\to0}\frac{\cos k-1}{k}=0.
Breve justificativa desses limites:
  • Para \displaystyle\lim_{k\to0}\frac{\sin k}{k}=1: para 0<k<\tfrac{\pi}{2} vale \cos k<\dfrac{\sin k}{k}<1. Como \cos k\to1 quando k\to0, pelo teorema do sanduíche conclui-se que \dfrac{\sin k}{k}\to1.
  • Para \displaystyle\lim_{k\to0}\frac{\cos k-1}{k}=0: escrevemos \cos k-1=-2\sin^2\!\big(\tfrac{k}{2}\big), assim
\frac{\cos k-1}{k}=-2\frac{\sin^2\!\big(\tfrac{k}{2}\big)}{k}=-2\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{k}{2}\big)}{\tfrac{k}{2}}\right)^2\cdot\frac{k}{4}.
Como \dfrac{\sin(\frac{k}{2})}{\frac{k}{2}}\to1 e \dfrac{k}{4}\to0, o produto tende a 0.
Portanto, voltando à expressão anterior,
\frac{d}{dt}\sin t=\sin t\cdot 0 + \cos t\cdot 1=\cos t.

Passo 7

Conclusão do limite inicial usando que (\sin t)'=\cos t.
Voltando ao produto de limites do Passo 5, o primeiro fator é \cos\big(u(x)\big) (a derivada de \sin avaliada em t=u(x)) e o segundo é u'(x). Assim
f'(x)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Essa é a forma geral da regra da cadeia aplicada a \sin(u(x)): derivamos a função externa \sin (dando \cos) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x).

Passo 8

Um exemplo concreto para fixar (modo de prova e checagem).
Se u(x)=2x, então u'(x)=2 e, pela fórmula obtida,
\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).
Podemos verificar rapidamente usando a definição se quisermos, mas a ideia é a mesma: derivar a externa \sin e multiplicar pela derivada da interna 2x.

Resposta

f'(x)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x)

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