Derivada da função seno:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Temos a função composta definida por
. O objetivo é encontrar a derivada
.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): é uma função de
diferenciável em torno do ponto onde queremos derivar (ou seja,
existe). Nada mais é pedido além da expressão da derivada de
.
Temos a função composta
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
Passo 2
Recordando a definição de derivada que vamos usar.
A derivada de uma função em
é o limite
A derivada de uma função
Aqui, aplicaremos essa definição diretamente à função
.
Passo 3
Escrevendo o quociente incremental de
.
Substituindo na definição:
Substituindo na definição:
Para simplificar, definimos a variação
por
Como
é diferenciável em
, temos
quando
.
Passo 4
Manipulação algébrica-canonica que facilita o limite (truque fundamental).
Dividimos e multiplicamos por (desde que
, e no limite isso é válido):
Dividimos e multiplicamos por
Agora vemos o produto de dois fatores: o primeiro é uma diferença quociente de
em torno de
e o segundo é justamente
.
Passo 5
Passando ao limite e interpretando cada fator.
Tomamos o limite quando . Como
, a primeira fração tem limite que é a derivada de
no ponto
, e a segunda fração tende a
por definição de derivada de
. Assim
Tomamos o limite quando
O segundo limite é
O primeiro limite é a derivada da função
no ponto
. Precisamos, então, calcular essa derivada para concluir.
Passo 6
Cálculo da derivada de
(ou seja, mostrar que
).
Usamos a definição:
Usamos a definição:
Aplicando a fórmula de adição para seno:
Dividindo por
e passando ao limite:
Agora usamos dois limites trigonométricos clássicos:
Breve justificativa desses limites:
- Para
: para vale . Como quando , pelo teorema do sanduíche conclui-se que . - Para
: escrevemos , assim
Como
e
, o produto tende a
.
Portanto, voltando à expressão anterior,
Passo 7
Conclusão do limite inicial usando que
.
Voltando ao produto de limites do Passo 5, o primeiro fator é (a derivada de
avaliada em
) e o segundo é
. Assim
Voltando ao produto de limites do Passo 5, o primeiro fator é
Essa é a forma geral da regra da cadeia aplicada a
: derivamos a função externa
(dando
) e multiplicamos pela derivada da função interna
.
Passo 8
Um exemplo concreto para fixar (modo de prova e checagem).
Se , então
e, pela fórmula obtida,
Se
Podemos verificar rapidamente usando a definição se quisermos, mas a ideia é a mesma: derivar a externa
e multiplicar pela derivada da interna
.