Derivada da função exponencial:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado
, onde é uma base fixa e é uma função de .\n - Pergunta: encontrar a derivada
.\n - Informações relevantes: para que
exista usamos . Também precisamos que seja diferenciável no ponto (ou num intervalo) em que queremos .\n - Notação: por
ou entendemos a derivada de em relação a .
Passo 2
Transformação útil (identidade exponencial) — por que podemos reescrever
como exponencial natural:\n
- Lembre que
para . Então
- Propriedade de potências:
.\n
Portanto reescrevemos a função como
Essa reescrita é prática porque sabemos diferenciar funções da forma
.
Passo 3
Recordando regra da cadeia e derivada da exponencial:\n
- Regra da cadeia (em palavras): se
, então . Ou seja, derivamos a função externa avaliada na interna e multiplicamos pela derivada da interna .\n - Derivada da exponencial natural: para
temos . Portanto, se , aplicando a regra da cadeia,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso:\n
- Defina
. Então .\n - Primeiro calcule
. Como é constante (em relação a ),
- Agora use a derivada de
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Voltar à forma com base
e simplificar:\n
- Lembre que
pela identidade usada antes. Logo
- Essa é a forma final e intuitiva: a derivada preserva
multiplicada por (por causa da mudança para ) e por (regra da cadeia).
Passo 6
Observações, casos especiais e interpretação rápida:\n
- Condições: a fórmula vale quando
e é diferenciável.\n - Caso especial
: como , obtemos a forma conhecida
- Caso
: e a derivada é . A fórmula dá então também resulta , consistente.\n - Intuição rápida: ao derivar
você “puxa” um fator pela transformação para o exponencial natural, e puxa pela regra da cadeia.
Passo 7
Exemplos bem mastigados para fixar (faça como treino antes da prova):\n
Exemplo 1: . Então
.\n
Exemplo 1:
-
.\n - Aplicando a fórmula:
Exemplo 2:
. Então
.\n
-
.\n - Aplicando a fórmula:
Esses exemplos mostram passo a passo o que fazer na prova: calcule
, multiplique por
e por
.