Derivada da função exponencial:
f(x)=a^{u}
f^{\prime}(x)=a^{u} \cdot \ln a \cdot u^{\prime}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado f(x)=a^{u(x)}, onde a é uma base fixa e u é uma função de x.\n
  • Pergunta: encontrar a derivada f^{\prime}(x).\n
  • Informações relevantes: para que \ln a exista usamos a>0. Também precisamos que u seja diferenciável no ponto (ou num intervalo) em que queremos f^{\prime}(x).\n
  • Notação: por u'(x) ou u' entendemos a derivada de u em relação a x.

Passo 2

Transformação útil (identidade exponencial) — por que podemos reescrever a^{u} como exponencial natural:\n
  • Lembre que e^{\ln a}=a para a>0. Então
a^{u(x)} = \big(e^{\ln a}\big)^{u(x)}.
  • Propriedade de potências: \big(e^{\ln a}\big)^{u(x)} = e^{u(x)\ln a}.\n
    Portanto reescrevemos a função como
f(x)=a^{u(x)} = e^{u(x)\ln a}.
Essa reescrita é prática porque sabemos diferenciar funções da forma e^{\text{algo}}.

Passo 3

Recordando regra da cadeia e derivada da exponencial:\n
  • Regra da cadeia (em palavras): se h(x)=g(v(x)), então h'(x)=g'(v(x))\cdot v'(x). Ou seja, derivamos a função externa g avaliada na interna v(x) e multiplicamos pela derivada da interna v'(x).\n
  • Derivada da exponencial natural: para G(t)=e^{t} temos G'(t)=e^{t}. Portanto, se H(x)=e^{v(x)}, aplicando a regra da cadeia,
H'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso:\n
  • Defina v(x)=u(x)\ln a. Então f(x)=e^{v(x)}.\n
  • Primeiro calcule v'(x). Como \ln a é constante (em relação a x),
v'(x)=\big(u(x)\ln a\big)' = u'(x)\cdot \ln a.
  • Agora use a derivada de e^{v(x)}:
f'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Substituindo v(x) e v'(x) obtemos
f'(x)=e^{u(x)\ln a}\cdot\big(u'(x)\ln a\big).

Passo 5

Voltar à forma com base a e simplificar:\n
  • Lembre que e^{u(x)\ln a}=a^{u(x)} pela identidade usada antes. Logo
f'(x)=a^{u(x)}\cdot \ln a \cdot u'(x).
  • Essa é a forma final e intuitiva: a derivada preserva a^{u} multiplicada por \ln a (por causa da mudança para e^{(\cdot)}) e por u' (regra da cadeia).

Passo 6

Observações, casos especiais e interpretação rápida:\n
  • Condições: a fórmula vale quando a>0 e u é diferenciável.\n
  • Caso especial \;a=e: como \ln e=1, obtemos a forma conhecida
\text{se }a=e\text{ então }f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).ã
  • Caso a=1: 1^{u(x)}=1 e a derivada é 0. A fórmula dá \ln 1=0 então também resulta 0, consistente.\n
  • Intuição rápida: ao derivar a^{u(x)} você “puxa” um fator \ln a pela transformação para o exponencial natural, e puxa u'(x) pela regra da cadeia.

Passo 7

Exemplos bem mastigados para fixar (faça como treino antes da prova):\n
Exemplo 1: u(x)=2x. Então f(x)=a^{2x}.\n
  • u'(x)=2.\n
  • Aplicando a fórmula:
f'(x)=a^{2x}\cdot\ln a\cdot 2 = 2\ln a\;a^{2x}.\n
Exemplo 2: u(x)=x^{2}. Então f(x)=a^{x^{2}}.\n
  • u'(x)=2x.\n
  • Aplicando a fórmula:
f'(x)=a^{x^{2}}\cdot\ln a\cdot 2x = 2x\ln a\;a^{x^{2}}.
Esses exemplos mostram passo a passo o que fazer na prova: calcule u', multiplique por \ln a e por a^{u(x)}.

Resposta

f'(x)=a^{u(x)}\cdot\ln a\cdot u'(x)

Exercícios relacionados