Usando a definição, determine o valor das derivadas nos pontos indicados:
y=4 no x=3

Passo 1

O enunciado dá a função constante y=4 e pede a derivada dessa função no ponto x=3.
Informações relevantes:
  • A função é y=4 para todo x.
  • O ponto onde queremos a derivada é x=3.
  • A pergunta é: qual é o valor de y' (ou f') em x=3?

Passo 2

Vou usar a definição de derivada pelo quociente incremental. A definição diz:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando os símbolos:
  • f'(a) é a derivada da função f no ponto a.
  • h representa um pequeno incremento em x; fazemos h\to0 para aproximar a taxa de variação instantânea.
  • f(a+h)-f(a) é a variação da função quando o argumento passa de a para a+h.
    A ideia é calcular a razão entre variação da função e variação de x e ver o que isso vira quando a variação de x tende a zero.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso com f(x)=4 e a=3.
Primeiro calcule f(3) e f(3+h):
f(3)=4,
f(3+h)=4,
porque a função é constante (o valor não depende de x).
Formamos o quociente incremental:
\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{4-4}{h}=\frac{0}{h}.
Observação: para h\neq0 esse quociente é igual a 0. Não podemos dividir por h=0 diretamente, por isso usamos o limite.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0.
Explicação: o quociente incremental é a função constante 0 para todo h\neq0; o limite de uma constante 0 quando h\to0 é 0. Portanto a derivada existe e vale 0.

Passo 5

Interpretação e dica prática:
  • Derivada 0 significa que a reta tangente à curva em x=3 é horizontal — a função não sobe nem desce naquele ponto.
  • Mais geral: qualquer função constante f(x)=C tem f'(x)=0 para todo x. Então nem precisa calcular ponto a ponto na prova: se a função é constante, a derivada é zero em todo lugar.

Resposta

f'(3)=0

Exercícios relacionados