Usando a definição, determine o valor das derivadas nos pontos indicados:
no
Passo 1
O enunciado dá a função constante
e pede a derivada dessa função no ponto
.
Informações relevantes:
- A função é
para todo . - O ponto onde queremos a derivada é
. - A pergunta é: qual é o valor de
(ou ) em ?
Passo 2
Vou usar a definição de derivada pelo quociente incremental. A definição diz:
Explicando os símbolos:
-
é a derivada da função no ponto . -
representa um pequeno incremento em ; fazemos para aproximar a taxa de variação instantânea. -
é a variação da função quando o argumento passa de para .
A ideia é calcular a razão entre variação da função e variação dee ver o que isso vira quando a variação de tende a zero.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso com
e
.
Primeiro calcule
e
:
porque a função é constante (o valor não depende de
).
Formamos o quociente incremental:
Observação: para
esse quociente é igual a
. Não podemos dividir por
diretamente, por isso usamos o limite.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Explicação: o quociente incremental é a função constante
para todo
; o limite de uma constante
quando
é
. Portanto a derivada existe e vale
.
Passo 5
Interpretação e dica prática:
- Derivada
significa que a reta tangente à curva em é horizontal — a função não sobe nem desce naquele ponto. - Mais geral: qualquer função constante
tem para todo . Então nem precisa calcular ponto a ponto na prova: se a função é constante, a derivada é zero em todo lugar.