Derivada de funções racionais e com raízes
f(x)=(x+1) /\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é derivada de funções que podem ser escritas como potências de x. Vamos usar a regra de potência em lugar da regra do quociente, porque fica mais simples.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como soma de potências de x. Note que
\frac{x+1}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=x^{-1}+x^{-2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo. Se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n\,x^{n-1}. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\;x^{-2}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2\;x^{-3}.
Somando as duas derivadas, temos
f'(x)=-1\,x^{-2}-2\,x^{-3}.

Passo 4

Por fim, podemos colocar tudo sobre o mesmo denominador x^{3}:
-1\,x^{-2}-2\,x^{-3}=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} =-\frac{x+2}{x^{3}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x+2}{x^{3}}.

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