1. (32,5 pontos) Um pellet esférico contendo um sólido ’ A ’ puro é suspenso em uma corrente de líquido ’ B ’ a 20^{\circ} \mathrm{C}. O diâmetro inicial do pellet é de 1,0 \mathrm{~cm} e a velocidade do líquido é igual a 5 \mathrm{cm} / \mathrm{s}. O componente ’ A ’ é solúvel no líquido e , com o passar do tempo, o diâmetro do pellet diminui. O líquido em escoamento serve como um ‘sorvedouro infinito’ para o soluto, de modo que a concentração do soluto no seio do líquido é essencialmente zero. Este processo representa um sistema com transferência de massa convectiva em estado pseudo-estacionário.
    (a) Estime o coeficiente de transferência de filme para o pellet com diâmetro inicial de 1,0 \mathrm{~cm}.
    (b) Estime a taxa de ‘redução’ do pellet, d R / d t, \mathrm{em} \mathrm{cm} / \mathrm{h}, quando o diâmetro do pellet é de 1,0 \mathrm{~cm}.
    (c) Se o diâmetro do pellet diminuir de 1,0 para 0,5 \mathrm{~cm}, a taxa de transferência de massa, \mathrm{W}_{\mathrm{A}}, mudará por qual fator?
Todas as propriedades fisicas relevantes do sistema são fornecidas abaixo:
\rho_{\mathrm{A}}, a densidade do sólido ’ A =2,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
\mathrm{M}_{\mathrm{A}}, a massa molar do soluto ’ A =110 \mathrm{~g} / \mathrm{gmol};
C_{\mathrm{A}}{ }^{*}, a solubilidade de equilíbrio do soluto ’ A ', na interface sólido-líquido =7 \times 10^{-4} \mathrm{gmol} / \mathrm{cm}^{3}; v, a viscosidade cinemática do fluido a 20^{\circ} \mathrm{C}=9,95 \times 10^{-3} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s};
a) D_{A B}, O coeficiente de difusão do soluto ’ A ’ no líquido a 20^{\circ} \mathrm{C}=1,2 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.
\begin{aligned} & P_{C A B}=\frac{5 \cdot 1}{1,2 \cdot 10^{5}}=41,6 \cdot 10^{6}>10000 \quad \begin{array}{l} C_{2} \therefore S_{n}=1,0, P_{e_{A B}}^{113} \end{array} \\\ & s_{n}=1,01\left(4,6 \cdot 10^{4}\right)^{1 / 3}=75,44 \\\ & 75,44=\frac{u_{c} \cdot 1}{1,2 \cdot 10^{-5}} \rightarrow u_{c}=5,05 \cdot 10^{-4} \mathrm{an} 1 \mathrm{n} / \mathrm{l} \end{aligned}
\text { b) } \begin{aligned} V & =\frac{4}{3} \pi R^{3} \\\ \frac{d V}{d t} & =4 \pi R^{2} \frac{d t}{d t} \end{aligned}
\begin{aligned} & -N_{A} \cdot S=\frac{d}{d t}\left[\frac{P_{A} \cdot v}{m_{A}}\right] \end{aligned}
\begin{aligned} & -R_{C}\left(C_{A_{R}}-C_{A}\right) \cdot 4 \pi R^{2}=\frac{\rho_{A}}{m_{A}} \frac{d}{d t}(V) \frac{9 \pi R^{3}}{3} \frac{d r}{d t}=4 \pi R^{2} \\\ & -N_{C}\left(C_{A P}-C_{A_{D}}\right)^{\circ} \cdot y \overline{H R} E^{\prime}=\frac{\rho_{A}}{M_{A}} \cdot 4 \pi R^{2} \frac{d R}{d t} \\\ & \frac{{ }^{n} C_{A_{D}} \cdot m_{A}}{P_{A}}=\frac{d R}{d t} \end{aligned}
\begin{aligned} & \cos _{s} 1.5 \\\ & \text { c) } \begin{aligned} w_{A} & =n_{C}\left(c_{A_{A}-c_{A_{A}}}\right) \cdot S \\\ s_{n} & =\frac{n_{C} d}{D_{A_{B}}} \quad i P_{C}=R_{C} \cdot s_{C} \end{aligned} \\\ & \frac{\text { b. D. } \varphi}{\mu} \cdot \frac{N}{P D_{A_{B}}}+b_{C}=\frac{u_{\infty} . D}{D_{A_{B}}} \rightarrow \frac{5.0,5}{1,2,10^{-5}}=2,08.10^{5}>10000 \\\ & \therefore 5 n=1,01.8 e^{113} \rightarrow S_{n}=55,87 \\\ & 59,57=\frac{n_{c} \cdot 0,5}{1,2 \cdot 10^{5}} \rightarrow k_{c}=1,44 . b^{-3} \mathrm{~cm} 1 \mathrm{n} \\\ & \omega_{A}=1,44 \cdot 10^{-3} \cdot 7 \cdot 10^{-9} \cdot 4 \pi R^{2} \\\ & w_{A}: 1,44,10^{-3}, 7,10^{-4}, 2 \pi(0,25)^{2} \\\ & w_{n}=748.10^{-7} \mathrm{~mol} / \mathrm{s} \end{aligned}
∴ rudará por conta do pe e conspquentemenze o S_{n}

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Estimar o coeficiente de transferência de filme k_c para um pellet esférico de diâmetro inicial 1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • (b) Estimar a taxa de redução do raio, \dfrac{dR}{dt} (em \mathrm{cm/h}), quando o diâmetro do pellet é 1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • (c) Se o diâmetro cair de 1{,}0\\ \mathrm{cm} para 0{,}5\\ \mathrm{cm}, por qual fator a taxa de transferência de massa W_A muda?
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &\rho_A = 2{,}0\\ \mathrm{g/cm^3},\\\ &M_A = 110\\ \mathrm{g/mol},\\\ &C_A^{*} = 7{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{gmol/cm^3},\\\ &\nu = 9{,}95\times10^{-3}\\ \mathrm{cm^2/s}\\ (\text{viscosidade cinemática}),\\\ &D_{AB} = 1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^2/s}\\ (\text{difusividade}),\\\ &u_\infty = 5{,}0\\ \mathrm{cm/s}\\ (\text{velocidade do líquido}),\\\ &d_1 = 1{,}0\\ \mathrm{cm}\\ (\text{diâmetro inicial}),\quad R_1=\dfrac{d_1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}áíâ

Passo 2

Vou estimar k_c usando a correlação clássica para transferência de massa em torno de esfera com escoamento forçado (análogo a Ranz–Marshall):
\mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3},
onde
\mathrm{Re}=\frac{u_\infty d}{\nu},\qquad \mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}},\qquad \mathrm{Sh}=\frac{k_c d}{D_{AB}}.
Explico rapidamente cada uma:
  • \mathrm{Re} (número de Reynolds) mede razão entre inércia e viscosidade do escoamento; depende de u_\infty, d e \nu.
  • \mathrm{Sc} (número de Schmidt) mede razão entre viscosidade cinemática e difusividade do soluto.
  • \mathrm{Sh} (número de Sherwood) é análogo ao número de Nusselt em calor: relaciona k_c com D_{AB} e a dimensão d.
Calculemos passo a passo:
\mathrm{Re}=\frac{u_\infty d}{\nu}=\frac{5{,}0\cdot 1{,}0}{9{,}95\times10^{-3}} \approx 502{,}5.
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{9{,}95\times10^{-3}}{1{,}2\times10^{-5}} \approx 829{,}17.
\mathrm{Re}^{1/2}\approx \sqrt{502{,}5}\approx 22{,}42,\qquad \mathrm{Sc}^{1/3}\approx 829{,}17^{1/3}\approx 9{,}38.
Agora a correlação:
\mathrm{Sh}=2+0{,}6\cdot 22{,}42\cdot 9{,}38 \approx 2 + 126{,}13 \approx 128{,}13.
Finalmente o coeficiente:
k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d}=\frac{128{,}13\cdot 1{,}2\times10^{-5}}{1{,}0} \approx 1{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{cm/s}.
Interpretação curta: esse k_c diz quão rápido (por unidade de área) a massa sai da superfície quando a concentração no bulk é praticamente zero.

Passo 3

Agora relacionamos a taxa de saída de mols com a redução do raio. Primeiro, fluxo de mols por unidade de área:
N_A = k_c\,(C_A^{*}-C_\infty)\quad\text{com }C_\infty\approx0,
logo
N_A = k_c\,C_A^{*}.
A taxa molar total W_A (mol/s) é N_A vezes a área superficial da esfera S=4\pi R^2:
W_A = N_A\cdot 4\pi R^2 = k_c C_A^{*}\cdot 4\pi R^2.
Essa perda molar transforma-se em perda de massa sólida. Massa do pellet:
m=\rho_A V=\rho_A\frac{4}{3}\pi R^3.
Derivando no tempo:
\frac{dm}{dt}=\rho_A 4\pi R^2\frac{dR}{dt}.
Como a massa diminui por dissolução, a taxa de diminuição de massa (em g/s) é igual à massa removida pelos mols que saem:
-\,\frac{dm}{dt}=W_A\cdot M_A.
Substituindo \dfrac{dm}{dt}:
-\,\rho_A 4\pi R^2\frac{dR}{dt}=W_A M_A.
Isolando \dfrac{dR}{dt}:
\frac{dR}{dt}=-\frac{W_A M_A}{\rho_A 4\pi R^2}.
Agora substituímos números para d_1=1{,}0\\ \mathrm{cm} ( R_1=0{,}5\\ \mathrm{cm}) usando o k_c encontrado.
Calcule N_A:
N_A = k_c C_A^{*} = 1{,}54\times10^{-3}\cdot 7{,}0\times10^{-4} \approx 1{,}08\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/cm^2/s}.
Área da esfera:
4\pi R_1^2 = 4\pi(0{,}5)^2 = \pi \approx 3{,}1416\\ \mathrm{cm^2}.
Taxa molar total:
W_A = N_A\cdot 4\pi R_1^2 \approx 1{,}08\times10^{-6}\cdot3{,}1416 \approx 3{,}39\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}.
Agora \dfrac{dR}{dt}:
\frac{dR}{dt}=-\frac{3{,}39\times10^{-6}\cdot 110}{2{,}0\cdot 4\pi(0{,}5)^2}.
Cálculo numérico:
W_A M_A = 3{,}39\times10^{-6}\cdot110 \approx 3{,}73\times10^{-4}\\ \mathrm{g/s},
\rho_A 4\pi R_1^2 = 2{,}0\cdot 3{,}1416 \approx 6{,}2832\\ \mathrm{g/cm}.
\frac{dR}{dt}\approx -\frac{3{,}73\times10^{-4}}{6{,}2832} \approx -5{,}93\times10^{-5}\\ \mathrm{cm/s}.
Convertendo para \mathrm{cm/h} ( 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}):
\frac{dR}{dt}\approx -5{,}93\times10^{-5}\cdot 3600 \approx -0{,}213\\ \mathrm{cm/h}.
Interpretação: o raio diminui cerca de 0{,}21\\ \mathrm{cm} por hora nas condições dadas (quando o diâmetro é 1{,}0\\ \mathrm{cm}).

Passo 4

Agora a pergunta (c): como muda W_A se o diâmetro cai de 1{,}0 para 0{,}5\\ \mathrm{cm}?
Relação útil: W_A = k_c C_A^{*} 4\pi R^2 e k_c = \dfrac{\mathrm{Sh}D_{AB}}{d}. Então
W_A \propto \mathrm{Sh}\cdot d
(pois 4\pi R^2\propto d^2 e k_c\propto \mathrm{Sh}/d, logo W_A\propto (\mathrm{Sh}/d)\cdot d^2=\mathrm{Sh}\,d).
Logo a razão entre as taxas é
\frac{W_{2}}{W_{1}}=\frac{\mathrm{Sh}_2\,d_2}{\mathrm{Sh}_1\,d_1}=\frac{\mathrm{Sh}_2}{\mathrm{Sh}_1}\cdot\frac{d_2}{d_1}.
Para d_2=0{,}5\\ \mathrm{cm} (metade de d_1), avaliamos \mathrm{Sh}_2. Pelo mesmo método:
\mathrm{Re}_2=\frac{5{,}0\cdot0{,}5}{9{,}95\times10^{-3}}\approx 251{,}25,\quad \mathrm{Re}_2^{1/2}\approx 15{,}85.
Usando \mathrm{Sc}^{1/3}\approx9{,}38 (mesmo fluido):
\mathrm{Sh}_2 = 2 + 0{,}6\cdot 15{,}85\cdot 9{,}38 \approx 91{,}15.
Portanto
\frac{W_2}{W_1}=\frac{91{,}15}{128{,}13}\cdot\frac{0{,}5}{1{,}0}\approx 0{,}712\cdot 0{,}5 \approx 0{,}356.
Interpretação: ao reduzir o diâmetro pela metade (de 1{,}0 para 0{,}5\\ \mathrm{cm}), a taxa de transferência de massa W_A fica cerca de 0{,}356 vezes a original — ou seja, reduz para aproximadamente 35{,}6\% do valor anterior.

Resposta

(a) k_c \approx 1{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{cm/s}.
(b) \dfrac{dR}{dt}\approx -0{,}213\\ \mathrm{cm/h}.
(c) W_A muda por um fator \dfrac{W_2}{W_1}\approx 0{,}356 (isto é, fica \approx35{,}6\% do valor inicial).

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