A derivada 3^{\mathrm{a}} da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{tg}(3 \mathrm{x}) para \mathrm{x}=\frac{\pi}{3} rad é igual a:
a) 12
b) \sqrt{3}
c) 54
d) \frac{22 \sqrt{3}}{3}
e) 63

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{tg}(3\mathrm{x}) e pede a derivada de terceira ordem no ponto \mathrm{x}=\dfrac{\pi}{3}.
Informações relevantes:
  • Função: \mathrm{f}(x)=\tan(3x).
  • Ponto onde avaliar: x=\dfrac{\pi}{3}.
  • Objetivo: calcular \mathrm{f}''' \!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Passo 2

Relembrando regras de derivação necessárias (com explicação passo a passo):
  • Regra da cadeia: se y=u(v(x)), então y' = u'(v(x))\cdot v'(x). Ou seja, derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada de \tan(u): \dfrac{d}{dx}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u)\cdot u'. Aqui \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}.
  • Derivada de \operatorname{sec}(u): \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
  • Derivada de \operatorname{sec}^2(u): pode-se usar regra da cadeia ou produto: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^2(u)=2\operatorname{sec}(u)\cdot \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=2\operatorname{sec}^2(u)\tan(u)\cdot u'.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \mathrm{f}'(x).
\mathrm{f}(x)=\tan(3x) \quad\Rightarrow\quad \mathrm{f}'(x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot \dfrac{d}{dx}(3x).
Como \dfrac{d}{dx}(3x)=3, obtemos
\mathrm{f}'(x)=3\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 4

Calcular a segunda derivada \mathrm{f}''(x). Diferencie \mathrm{f}'(x)=3\operatorname{sec}^2(3x). Usando constante multiplicativa e regra da cadeia para \operatorname{sec}^2:
\mathrm{f}''(x)=3\cdot \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2(3x)\big).
Com a fórmula \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^2(u)=2\operatorname{sec}^2(u)\tan(u)\cdot u' e u=3x com u'=3, temos
\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2(3x)\big)=2\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x)\cdot 3 =6\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x).
Portanto
\mathrm{f}''(x)=3\cdot 6\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x)=18\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x).

Passo 5

Calcular a terceira derivada \mathrm{f}'''(x). Diferencie \mathrm{f}''(x)=18\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x). Aqui usamos a regra do produto: se y=u\cdot v, então y' = u'v + uv'. Seja u(x)=18\operatorname{sec}^2(3x) e v(x)=\tan(3x).
Primeiro, u'(x)=18\cdot \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^2(3x). Já calculamos uma fórmula similar: com u=3x,
\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}^2(3x)=6\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x),
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u'(x)=18\cdot 6\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x)=108\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x).
Segundo, v'(x)=\dfrac{d}{dx}\tan(3x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot 3=3\operatorname{sec}^2(3x).
Aplicando a regra do produto:
\mathrm{f}'''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
\mathrm{f}'''(x)=\big(108\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x)\big)\cdot \tan(3x) \;+\; \big(18\operatorname{sec}^2(3x)\big)\cdot \big(3\operatorname{sec}^2(3x)\big).
Simplificando termos:
\mathrm{f}'''(x)=108\operatorname{sec}^2(3x)\tan^2(3x)+54\operatorname{sec}^4(3x).

Passo 6

Avaliar \mathrm{f}'''(x) em x=\dfrac{\pi}{3}. Primeiro calcule 3x:
3\cdot \dfrac{\pi}{3}=\pi.
Agora use valores trigonométricos conhecidos:
\tan(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1 \Rightarrow \operatorname{sec}(\pi)=\dfrac{1}{\cos(\pi)}=-1,\qquad \operatorname{sec}^2(\pi)=1.
Substituindo em \mathrm{f}'''(x)=108\operatorname{sec}^2(3x)\tan^2(3x)+54\operatorname{sec}^4(3x):
\mathrm{f}'''\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=108\cdot 1\cdot 0 + 54\cdot 1 = 54.

Resposta

54

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