A derivada da função f(x)=\sqrt[3]{\frac{\cos \operatorname{sec} x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sec} x-\cos x}}, calculada no ponto x=-\frac{\pi}{3} resulta:
a) 1
b) \frac{2 \sqrt{3}}{3}
c) \frac{4}{3}
d) -\frac{2 \sqrt{3}}{3}
e) -\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{\frac{\cos \operatorname{sec} x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sec} x-\cos x}}
e pede a derivada de f calculada no ponto x=-\dfrac{\pi}{3}.
Informações/questões claras que extraí do enunciado:
  • O ponto onde devemos avaliar a derivada é x_0=-\dfrac{\pi}{3}.
  • As funções trigonométricas envolvidas são \cos, \operatorname{sen} (vou usar \sin para escrever), e \operatorname{sec}.
  • O enunciado tem uma notação potencialmente ambígua em “ \cos \operatorname{sec} x”. Vou assumir, por uma questão de interpretação natural do texto (e porque é a forma que leva a uma expressão simples para manipular), que a expressão significa produto \cos x\cdot\operatorname{sec} x. Ou seja, vou trabalhar com
f(x)=\sqrt[3]{\frac{\cos x\cdot\operatorname{sec} x-\sin x}{\operatorname{sec} x-\cos x}}.
(Se a intenção fosse outra notacionalmente, o cálculo muda; aqui continuo com esta interpretação.)
Dados trigonométricos úteis que usarei (e que derivam diretamente das definições):
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • No ponto x_0=-\dfrac{\pi}{3} vale:
    • \cos x_0=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.
    • \sin x_0=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • \operatorname{sec} x_0=\dfrac{1}{\cos x_0}=2.
  • O objetivo final: calcular f'(x_0).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão interna (antes de derivar), usando a interpretação \cos x\cdot\operatorname{sec} x.
Escrevendo a função interna como
g(x)=\frac{\cos x\cdot\operatorname{sec} x-\sin x}{\operatorname{sec} x-\cos x}
substituímos \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Então:
\cos x\cdot\operatorname{sec} x=\cos x\cdot\frac{1}{\cos x}=1.
Logo o numerador fica 1-\sin x.
No denominador:
\operatorname{sec} x-\cos x=\frac{1}{\cos x}-\cos x=\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}=\frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Portanto a função interna simplificada é
g(x)=\frac{1-\sin x}{\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}}=\cos x\cdot\frac{1-\sin x}{\sin^2 x}.
Então a função original é
f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{1/3} =\left(\cos x\cdot\frac{1-\sin x}{\sin^2 x}\right)^{1/3}.

Passo 3

Agora vamos preparar a derivação: se f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{1/3}, pela regra da cadeia
f'(x)=\frac{1}{3}\,g(x)^{-2/3}\,g'(x).
Portanto precisamos calcular g'(x). Reescrevemos g(x) de forma conveniente:
g(x)=\cos x\cdot\frac{1-\sin x}{\sin^2 x}.
Para derivar, ponha s=\sin x e c=\cos x apenas para clareza interna: então
g(x)=c\cdot\frac{1-s}{s^2}.
Vamos derivar com s'=\cos x=c e c'=-\sin x=-s.

Passo 4

Derivando g(x)=c\cdot h(x) com h(x)=\dfrac{1-s}{s^2}:
Primeiro calcule h'(x). Usando h=(1-s)s^{-2},
h'(x)=(1-s)'\,s^{-2}+(1-s)\,(s^{-2})' =(-s')s^{-2}+(1-s)(-2s^{-3}s')
Substituindo s' = c,
h'(x)=-c\,s^{-2}-2c(1-s)s^{-3} =-c\frac{2-s}{s^3}.
Agora g'(x)=c' h + c h' = (-s)h + c\left(-c\frac{2-s}{s^3}\right).
Compute h=(1-s)/s^2, então
(-s)h = -s\cdot\frac{1-s}{s^2}=-\frac{1-s}{s} = -\frac{1}{s}+1.
E c\left(-c\frac{2-s}{s^3}\right)=-c^2\frac{2-s}{s^3}.
Logo
g'(x) = \left(-\frac{1}{s}+1\right) - c^2\frac{2-s}{s^3}.
Agora substituímos c^2=1-s^2 para escrever tudo em função de s:
multiplicando por s^3 para simplificar a soma:
s^3 g'(x)=s^3\Big(1-\frac{1}{s}\Big) - (2-s)(1-s^2).
Desenvolvendo e simplificando obtém-se (fazendo as contas com cuidado)
s^3 g'(x) = -2 + s + s^2,
ou seja
g'(x)=\frac{s^2+s-2}{s^3}.
Voltando a s=\sin x,
g'(x)=\frac{\sin^2 x+\sin x-2}{\sin^3 x}.

Passo 5

Agora avaliamos g e g' em x_0=-\dfrac{\pi}{3}.
Valores trigonométricos no ponto:
\sin x_0=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos x_0=\frac{1}{2},\qquad \operatorname{sec} x_0=2.
Compute g(x_0):
g(x_0)=\cos x_0\cdot\frac{1-\sin x_0}{\sin^2 x_0} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})}{(\tfrac{3}{4})} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{4}} =\frac{2+\sqrt{3}}{3}.
Compute g'(x_0). Primeiro calcule os termos:
\sin^2 x_0=\frac{3}{4},\qquad \sin^3 x_0=-\frac{3\sqrt{3}}{8}.
No numerador de g':
\sin^2 x_0+\sin x_0-2=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}-2 =-\frac{5+2\sqrt{3}}{4}.
Portanto
g'(x_0)=\frac{-\dfrac{5+2\sqrt{3}}{4}}{-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}} =\frac{5+2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{8}{3\sqrt{3}} =\frac{2(5+2\sqrt{3})}{3\sqrt{3}}.
Podemos também escrever de forma simplificada:
g'(x_0)=\frac{12+10\sqrt{3}}{9}.

Passo 6

Aplicando a fórmula da cadeia para f'(x_0):
f'(x_0)=\frac{1}{3}\,g(x_0)^{-2/3}\,g'(x_0).
Substituindo g(x_0)=\dfrac{2+\sqrt{3}}{3} e g'(x_0)=\dfrac{12+10\sqrt{3}}{9}, obtemos
f'(x_0)=\frac{1}{3}\cdot\frac{12+10\sqrt{3}}{9}\cdot\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)^{-2/3}.
Fazendo a avaliação numérica (para comparar com as alternativas):
  • g(x_0)=\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}2440169.
  • g'(x_0)\approx 3{,}257833.
  • Logo
f'(x_0)\approx\frac{1}{3}\times 3{,}257833\times (1{,}2440169)^{-2/3}\approx 0{,}9395\\ (\text{aprox.}).

Resposta

1

Exercícios relacionados