A derivada da função
, calculada no ponto
resulta:
a) 1
b)
c)
d)
e)
a) 1
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
calculada no ponto
.
Informações/questões claras que extraí do enunciado:
- O ponto onde devemos avaliar a derivada é
. - As funções trigonométricas envolvidas são
, (vou usar para escrever), e . - O enunciado tem uma notação potencialmente ambígua em “
”. Vou assumir, por uma questão de interpretação natural do texto (e porque é a forma que leva a uma expressão simples para manipular), que a expressão significa produto . Ou seja, vou trabalhar com
(Se a intenção fosse outra notacionalmente, o cálculo muda; aqui continuo com esta interpretação.)
Dados trigonométricos úteis que usarei (e que derivam diretamente das definições):
-
. - No ponto
vale: -
. -
. -
.
-
- O objetivo final: calcular
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão interna (antes de derivar), usando a interpretação
.
Escrevendo a função interna como
substituímos
. Então:
Logo o numerador fica
.
No denominador:
Portanto a função interna simplificada é
Então a função original é
Passo 3
Agora vamos preparar a derivação: se
, pela regra da cadeia
Portanto precisamos calcular
. Reescrevemos
de forma conveniente:
Para derivar, ponha
e
apenas para clareza interna: então
Vamos derivar com
e
.
Passo 4
Derivando
com
:
Primeiro calcule
. Usando
,
Substituindo
,
Agora
.
Compute , então
Compute
E
.
Logo
Agora substituímos
para escrever tudo em função de
:
multiplicando por para simplificar a soma:
multiplicando por
Desenvolvendo e simplificando obtém-se (fazendo as contas com cuidado)
ou seja
Voltando a
,
Passo 5
Agora avaliamos
e
em
.
Valores trigonométricos no ponto:
Compute
:
Compute
. Primeiro calcule os termos:
No numerador de
:
Portanto
Podemos também escrever de forma simplificada:
Passo 6
Aplicando a fórmula da cadeia para
:
Substituindo
e
, obtemos
Fazendo a avaliação numérica (para comparar com as alternativas):
-
. -
. - Logo
Resposta
1