Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para "Calcule
". As informações relevantes que temos são:
- O numerador é
(ou seja, ). - O denominador é
, uma função linear. - Não há outros dados no enunciado.
Passo 2
O enunciado está um pouco ambíguo: ele já deu a expressão de
, então "Calcule
" pode significar várias coisas (por exemplo: determinar a expressão de
— já dada —, determinar o domínio, ou calcular a derivada
, que é um pedido muito comum em provas). Como não posso pedir esclarecimento, vou escolher a interpretação mais frequente em exercícios do tipo: calcular a derivada
. Se o que você queria fosse outra coisa, ignore este resultado; mas se for a derivada, vem comigo que eu explico tudo passo a passo.
Passo 3
Antes de derivar, é bom saber onde a função está definida (domínio), porque a derivada só faz sentido onde a função é definida.
- A função tem
, que existe quando . Logo excluem-se os pontos
- O denominador
não pode ser zero, logo exclui-se
Portanto o domínio de
é todos os
tais que
Passo 4
Agora vamos derivar. Vou usar a regra do quociente, que é a mais direta aqui. Explico a regra e as derivadas que usaremos:
- Regra do quociente: se
e são diferenciáveis e , então
Aqui tomamos
e
.
-
Derivada de
: . -
Derivada de
: uma fórmula importante é
Breve justificativa dessa fórmula:
. Usando a regra da cadeia e a derivada de
que é
,
Então
.
Passo 5
Aplique a regra do quociente passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Depois calcule
:
- Subtraia e divida por
:
Passo 6
Fatorando
no numerador para deixar a expressão mais enxuta:
Isso é uma forma final limpa da derivada. Observação: a derivada está definida apenas nos pontos do domínio original onde a função é diferenciável, ou seja, excluindo
e
.
Passo 7
Quer um teste rápido numérico para ficar tranquilo? Calcule
usando a fórmula: note que
e
e
. Então
Isso confirma que a fórmula é aplicável e dá um número concreto.