Calcule f(x) em que f(x) é igual a
\frac{\operatorname{sec} x}{3 x+2}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{\operatorname{sec} x}{3x+2}
e pede para "Calcule f(x)". As informações relevantes que temos são:
  • O numerador é \operatorname{sec} x (ou seja, \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}).
  • O denominador é 3x+2, uma função linear.
  • Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

O enunciado está um pouco ambíguo: ele já deu a expressão de f(x), então "Calcule f(x)" pode significar várias coisas (por exemplo: determinar a expressão de f(x) — já dada —, determinar o domínio, ou calcular a derivada f'(x), que é um pedido muito comum em provas). Como não posso pedir esclarecimento, vou escolher a interpretação mais frequente em exercícios do tipo: calcular a derivada f'(x). Se o que você queria fosse outra coisa, ignore este resultado; mas se for a derivada, vem comigo que eu explico tudo passo a passo.

Passo 3

Antes de derivar, é bom saber onde a função está definida (domínio), porque a derivada só faz sentido onde a função é definida.
  • A função tem \operatorname{sec} x, que existe quando \cos x \neq 0. Logo excluem-se os pontos
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  • O denominador 3x+2 não pode ser zero, logo exclui-se
3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}.
Portanto o domínio de f é todos os x tais que
x\neq -\frac{2}{3}\quad\text{e}\quad x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora vamos derivar. Vou usar a regra do quociente, que é a mais direta aqui. Explico a regra e as derivadas que usaremos:
  • Regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui tomamos u(x)=\operatorname{sec} x e v(x)=3x+2.
  • Derivada de v: v'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x+2)=3.
  • Derivada de \operatorname{sec} x: uma fórmula importante é
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.
Breve justificativa dessa fórmula: \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}. Usando a regra da cadeia e a derivada de \cos x que é -\sin x,
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1}=-1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec} x\tan x.
Então u'(x)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 5

Aplique a regra do quociente passo a passo:
  • Primeiro calcule u'v:
u'v=(\operatorname{sec} x\tan x)(3x+2).
  • Depois calcule uv':
uv'=(\operatorname{sec} x)(3)=3\operatorname{sec} x.
  • Subtraia e divida por v^{2}:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(\operatorname{sec} x\tan x)(3x+2)-3\operatorname{sec} x}{(3x+2)^{2}}.

Passo 6

Fatorando \operatorname{sec} x no numerador para deixar a expressão mais enxuta:
f'(x)=\frac{\operatorname{sec} x\big((3x+2)\tan x-3\big)}{(3x+2)^{2}}.
Isso é uma forma final limpa da derivada. Observação: a derivada está definida apenas nos pontos do domínio original onde a função é diferenciável, ou seja, excluindo x=-\dfrac{2}{3} e x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 7

Quer um teste rápido numérico para ficar tranquilo? Calcule f'(0) usando a fórmula: note que \operatorname{sec} 0=1 e \tan 0=0 e 3\cdot0+2=2. Então
f'(0)=\frac{1\big(2\cdot0-3\big)}{2^{2}}=\frac{-3}{4}=-\tfrac{3}{4}.
Isso confirma que a fórmula é aplicável e dá um número concreto.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec} x\big((3x+2)\tan x-3\big)}{(3x+2)^{2}}

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