Qual é a derivada de ordem 999 da função
?
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
.
Informações dadas: a função é e precisamos encontrar
(a derivada de ordem
). Não há outras informações no enunciado.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas e ver o padrão. Primeiro, lembro (e explico por que usamos isso) que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Isso vem das definições e limites da trigonometria, mas na prática para a prova você pode usar estas regras básicas de derivação:
Aplicando repetidamente:
Passo 3
Interpretação do padrão: pelas contas do passo anterior, as derivadas repetem a cada 4 operações, pois
. Então a sequência das derivadas é cíclica com período
:
Uma forma compacta e útil (que também pode ser demonstrada por indução) é
porque derivando
dá
, logo a fórmula se mantém ao aumentar
.
Passo 4
Agora precisamos identificar em qual posição do ciclo a derivada de ordem
cai. Para isso fazemos a divisão euclidiana de
por
:
Isso mostra que
(o resto é
). Como o ciclo tem período
,
corresponde a
.
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, temos
Se quiser ver pela fórmula compacta: substituindo
em
,
Como
, podemos retirar o termo
(pois
tem período
) e ficamos com
.