Qual é a derivada de ordem 999 da função f(x)=\sin (x) ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 999 da função f(x)=\sin(x).
Informações dadas: a função é f(x)=\sin(x) e precisamos encontrar f^{(999)}(x) (a derivada de ordem 999). Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas e ver o padrão. Primeiro, lembro (e explico por que usamos isso) que a derivada de \sin é \cos e a derivada de \cos é -\sin. Isso vem das definições e limites da trigonometria, mas na prática para a prova você pode usar estas regras básicas de derivação:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Aplicando repetidamente:
f(x)=\sin(x).
f'(x)=\cos(x).
f''(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(-\sin(x))=-\cos(x).
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}(-\cos(x))=\sin(x).

Passo 3

Interpretação do padrão: pelas contas do passo anterior, as derivadas repetem a cada 4 operações, pois f^{(4)}(x)=\sin(x)=f(x). Então a sequência das derivadas é cíclica com período 4:
\begin{aligned} f^{(0)}(x)&=\sin(x),\\\ f^{(1)}(x)&=\cos(x),\\\ f^{(2)}(x)&=-\sin(x),\\\ f^{(3)}(x)&=-\cos(x),\\\ f^{(4)}(x)&=\sin(x),\\ \text{e assim por diante.} \end{aligned}
Uma forma compacta e útil (que também pode ser demonstrada por indução) é
f^{(n)}(x)=\sin\!\left(x + n\frac{\pi}{2}\right),
porque derivando \sin\big(x+n\frac{\pi}{2}\big) \cos\big(x+n\frac{\pi}{2}\big)=\sin\big(x+(n+1)\frac{\pi}{2}\big), logo a fórmula se mantém ao aumentar n.

Passo 4

Agora precisamos identificar em qual posição do ciclo a derivada de ordem 999 cai. Para isso fazemos a divisão euclidiana de 999 por 4:
999 = 4\cdot 249 + 3.
Isso mostra que 999\equiv 3\pmod{4} (o resto é 3). Como o ciclo tem período 4, f^{(999)} corresponde a f^{(3)}.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, temos
f^{(999)}(x)=f^{(3)}(x)=-\cos(x).
Se quiser ver pela fórmula compacta: substituindo n=999 em f^{(n)}(x)=\sin\!\left(x+n\frac{\pi}{2}\right),
f^{(999)}(x)=\sin\!\left(x+999\frac{\pi}{2}\right).
Como 999\frac{\pi}{2}=2\pi\cdot 249 + \frac{3\pi}{2}, podemos retirar o termo 2\pi\cdot 249 (pois \sin tem período 2\pi) e ficamos com \sin\!\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)= -\cos(x).

Resposta

-\cos(x)

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