Se a derivada
for contínua no intervalo
], então o comprimento da curva
, com
é dada por:
OBS: Se a curva tiver equação dada na forma
, com
, e
é contínua, então, o comprimento de arco da curva é dada por:
Nos exercícios 107 a 112, calcular o comprimento de arco da curva dada:
107)
107)
Passo 1
Temos a curva definida por
no intervalo
. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma função na forma
. Como
é contínua, vamos usar a fórmula $$
L=\int_ab\sqrt{1+[f’(x)]2},dx$$
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada
. Como
, aplicamos a regra da cadeia:
Multiplicando por
, obtemos
Passo 3
Agora, montamos o integrando:
Logo
Passo 4
Para calcular
, fazemos a substituição
,
, portanto
. Quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 5
Integramos:
Avaliaremos de
a
:
Passo 6
Portanto, este é o comprimento da curva no intervalo dado.