Se a derivada f^prime for contínua no intervalo [a, b ], então o comprimento da curva y=f(x), com a <= x <= b é dada por:
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x=integrala^b raiz1+(d yd x)^2 d x
OBS: Se a curva tiver equação dada na forma x=g(y), com c <= y <= d, e g^prime é contínua, então, o comprimento de arco da curva é dada por:
L=integralc^d raiz1+[g^prime(y)]^2 d y=integralc^d raiz1+(d xd y)^2 d y
Nos exercícios 107 a 112, calcular o comprimento de arco da curva dada:
107) y=f(x)=23(2 x+1)^32 ; x in[0,1]

Passo 1

Temos a curva definida por y=f(x)=tfrac23(2x+1)^3/2 no intervalo 0<= x<=1. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma função na forma y=f(x). Como f' é contínua, vamos usar a fórmula $$
L=\int_ab\sqrt{1+[f’(x)]2},dx$$

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada f'(x). Como f(x)=tfrac23(2x+1)^3/2, aplicamos a regra da cadeia: ddx(2x+1)^3/2=tfrac32(2x+1)^1/2cdot2=3(2x+1)^1/2 Multiplicando por 2/3, obtemos
f'(x)=2(2x+1)^1/2

Passo 3

Agora, montamos o integrando:
1+[f'(x)]^2=1+[2(2x+1)^1/2]^2=1+4(2x+1)=8x+5
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L=integral0^1raiz8x+5,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1raiz8x+5,dx, fazemos a substituição u=8x+5, du=8,dx, portanto dx=du/8. Quando x=0, u=5; quando x=1, u=13. Assim,
L=integral5^13raizudu8=18integral5^13u^1/2,du

Passo 5

Integramos:
18integral u^1/2,du=18cdot23u^3/2=112u^3/2
Avaliaremos de u=5 a u=13:
L=112l(13^3/2-5^3/2r)=112l(13raiz13-5raiz5r)

Passo 6

Portanto, este é o comprimento da curva no intervalo dado.

Resposta

L=tfrac13raiz13-5raiz512

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