Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente a curva dada por x^2+y^2+x y=3 no pouto (1,1).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva dada implicitamente por x^2 + y^2 + x y = 3 e queremos determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto (1,1). Para isso vamos usar derivação implícita, que consiste em derivar ambos os lados da equação em relação a x considerando y como função de x.

Passo 2

Aplicar derivação implícita: derivando cada termo da equação x^2 + y^2 + x y = 3 em relação a x obtemos:
ddx(x^2) + ddx(y^2) + ddx(x y) = ddx(3)
Isso resulta em 2x + 2y,y' + (x,y' + y) = 0.

Passo 3

Agrupar e isolar y': coletando os termos que envolvem y' fica
2x + 2y,y' + x,y' + y = 0
(2y + x),y' = -2x - y
y' = -2x + y2y + x

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto (1,1): substituindo x = 1 e y = 1 na expressão de y' temos
y'(1,1) = -2cdot1 + 12cdot1 + 1 = -33 = -1

Passo 5

Determinar a equação da reta tangente: usando a fórmula ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com m = -1 e (x0, y0) = (1,1), obtemos
y - 1 = -1,(x - 1)
que se simplifica para y = -x + 2.

Resposta

y = -x + 2

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