As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
Verifique que as funções a seguir são soluções da equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece a equação de Laplace
e a função
A tarefa é verificar que essa função satisfaz a equação de Laplace. Informação relevante a listar: a função está escrita em termos de
e
e envolve o denominador
, que se anula em
. Portanto devemos avaliar as derivadas parciais em pontos onde
. O que precisa ser calculado explicitamente são as segundas derivadas parciais
e
e verificar que a soma delas é zero (para
).
Passo 2
Vamos preparar as ferramentas e a estratégia (sem resolver ainda): escrever
como produto para aplicar regras de derivação. Regras que usaremos:
- Regra do produto (para derivada parcial em
): se então
- Regra da cadeia: se
então
No nosso caso é conveniente escrever
porque o segundo fator é uma potência e a derivação fica direta. Lembre-se: ao calcular derivada parcial em
tratamos
como constante, e vice-versa.
Passo 3
Calcular
.
Escrevendo
, apliquei a regra do produto:
Agora a derivada do segundo fator pela regra da cadeia (com
e potência
):
Substituindo:
Colocando em denominador comum
:
Passo 4
Calcular
a partir de
.
Trate
como produto
com
e
. Então
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Colocando fator comum
e simplificando:
Calcule o que está entre colchetes:
Notei melhor organizar como fator comum
também; o resultado final é (mais simples de ver):
(Expansão alternativa dá a mesma expressão.)
Passo 5
Calcular
.
Usando
e lembrando que agora
é tratado como constante:
Pela regra da cadeia:
Portanto
Passo 6
Calcular
a partir de
.
Aqui trate
como produto
com
e
. Então
Calcule as derivadas:
Substituindo:
Simplificando e colocando o denominador comum
:
Calcule o que está entre colchetes:
Assim obtemos
Passo 7
Somar as segundas derivadas e verificar a equação de Laplace.
Temos
Somando:
Portanto a soma das segundas derivadas é zero sempre que o denominador esteja bem definido, isto é, para
.
Passo 8
Conclusão didática e observação final: mostramos passo a passo como aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, fizemos a álgebra para juntar termos em um denominador comum e vimos que os termos se cancelam. Importante lembrar que a função dada tem singularidade em
porque
ali; a verificação feita vale para todo ponto do plano exceto a origem. Isso significa que
é uma função harmônica em
.
Resposta
A função
satisfaz
para todo
; ou seja, é solução da equação de Laplace em
.