As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
Verifique que as funções a seguir são soluções da equação de Laplace.
u(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
e a função
u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
A tarefa é verificar que essa função satisfaz a equação de Laplace. Informação relevante a listar: a função está escrita em termos de x e y e envolve o denominador x^{2}+y^{2}, que se anula em (x,y)=(0,0). Portanto devemos avaliar as derivadas parciais em pontos onde (x,y)\neq(0,0). O que precisa ser calculado explicitamente são as segundas derivadas parciais \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} e verificar que a soma delas é zero (para (x,y)\neq(0,0)).

Passo 2

Vamos preparar as ferramentas e a estratégia (sem resolver ainda): escrever u como produto para aplicar regras de derivação. Regras que usaremos:
  • Regra do produto (para derivada parcial em x): se u(x,y)=f(x,y)\,g(x,y) então
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial x}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial x}.
  • Regra da cadeia: se h(x,y)=(\varphi(x,y))^{n} então
\frac{\partial h}{\partial x}= n\,\varphi^{\,n-1}\frac{\partial\varphi}{\partial x}.
No nosso caso é conveniente escrever
u(x,y)=x\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1},
porque o segundo fator é uma potência e a derivação fica direta. Lembre-se: ao calcular derivada parcial em x tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 3

Calcular \frac{\partial u}{\partial x}.
Escrevendo u=x\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1}, apliquei a regra do produto:
\frac{\partial u}{\partial x}=1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big((x^{2}+y^{2})^{-1}\big).
Agora a derivada do segundo fator pela regra da cadeia (com \varphi(x,y)=x^{2}+y^{2} e potência -1):
\frac{\partial}{\partial x}\big((x^{2}+y^{2})^{-1}\big) = -1\cdot(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -2x(x^{2}+y^{2})^{-2}.
Substituindo:
\frac{\partial u}{\partial x}=(x^{2}+y^{2})^{-1} + x\big(-2x(x^{2}+y^{2})^{-2}\big).
Colocando em denominador comum (x^{2}+y^{2})^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Calcular \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} a partir de \frac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Trate \frac{\partial u}{\partial x} como produto A(x,y)\,B(x,y) com A=y^{2}-x^{2} e B=(x^{2}+y^{2})^{-2}. Então
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial A}{\partial x}\,B + A\,\frac{\partial B}{\partial x}.
Calculando as derivadas:
\frac{\partial A}{\partial x}=-2x, \qquad \frac{\partial B}{\partial x}=-2\,(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2x = -4x(x^{2}+y^{2})^{-3}.
Substituindo:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = (-2x)(x^{2}+y^{2})^{-2} + (y^{2}-x^{2})\big(-4x(x^{2}+y^{2})^{-3}\big).
Colocando fator comum (x^{2}+y^{2})^{-3} e simplificando:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = (x^{2}+y^{2})^{-3}\Big[(-2x)(x^{2}+y^{2}) -4x(y^{2}-x^{2})\Big].
Calcule o que está entre colchetes:
(-2x)(x^{2}+y^{2}) -4x(y^{2}-x^{2}) = -2x x^{2}-2x y^{2} -4x y^{2} +4x x^{2} = 2x x^{2} +(-6x y^{2}) = 2x( x^{2} -3y^{2} ).
Notei melhor organizar como fator comum -2x também; o resultado final é (mais simples de ver):
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{-2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
(Expansão alternativa dá a mesma expressão.)

Passo 5

Calcular \frac{\partial u}{\partial y}.
Usando u=x\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} e lembrando que agora x é tratado como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}= x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big((x^{2}+y^{2})^{-1}\big).
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big((x^{2}+y^{2})^{-1}\big) = -1\cdot(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y = -2y(x^{2}+y^{2})^{-2}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial y} = x\big(-2y(x^{2}+y^{2})^{-2}\big) = \frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Calcular \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} a partir de \frac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Aqui trate \frac{\partial u}{\partial y} como produto C(x,y)\,D(x,y) com C=-2x y e D=(x^{2}+y^{2})^{-2}. Então
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{\partial C}{\partial y}\,D + C\,\frac{\partial D}{\partial y}.
Calcule as derivadas:
\frac{\partial C}{\partial y}=-2x, \qquad \frac{\partial D}{\partial y}=-2\,(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2y = -4y(x^{2}+y^{2})^{-3}.
Substituindo:
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = (-2x)(x^{2}+y^{2})^{-2} + (-2xy)\big(-4y(x^{2}+y^{2})^{-3}\big).
Simplificando e colocando o denominador comum (x^{2}+y^{2})^{3}:
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = (x^{2}+y^{2})^{-3}\Big[(-2x)(x^{2}+y^{2}) +8x y^{2}\Big].
Calcule o que está entre colchetes:
(-2x)(x^{2}+y^{2}) +8x y^{2} = -2x x^{2} -2x y^{2} +8x y^{2} = -2x x^{2} +6x y^{2} = 2x(3y^{2}-x^{2}).
Assim obtemos
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 7

Somar as segundas derivadas e verificar a equação de Laplace.
Temos
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{-2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}, \qquad \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Somando:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{-2x(3y^{2}-x^{2}) + 2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}} = \frac{0}{(x^{2}+y^{2})^{3}} = 0.
Portanto a soma das segundas derivadas é zero sempre que o denominador esteja bem definido, isto é, para (x,y)\neq(0,0).

Passo 8

Conclusão didática e observação final: mostramos passo a passo como aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, fizemos a álgebra para juntar termos em um denominador comum e vimos que os termos se cancelam. Importante lembrar que a função dada tem singularidade em (0,0) porque x^{2}+y^{2}=0 ali; a verificação feita vale para todo ponto do plano exceto a origem. Isso significa que u é uma função harmônica em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

A função u(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} satisfaz \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 para todo (x,y)\neq(0,0); ou seja, é solução da equação de Laplace em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

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