Para o gás ideal monoatômico, calcule o calor específico a pressão constante;

Passo 1

O enunciado pede: calcular o calor específico a pressão constante para um gás ideal monoatômico.
Informações dadas: o gás é ideal e monoatômico. Não há outros números fornecidos (como massa molar), então vamos obter a expressão molar e a expressão por unidade de massa.

Passo 2

Definições e notações importantes (vou explicar com calma para você decorar):
  • R é a constante universal dos gases perfeitos, com unidade \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}. Valor numérico aproximado: R=8,314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
  • O calor molar a volume constante é definido por \displaystyle C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}, onde U é a energia interna por mol e T a temperatura. Aqui estamos usando a base “por mol” (molar).
  • O calor molar a pressão constante é \displaystyle C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}, onde H é a entalpia por mol.
    Explicando as grandezas: U mede a energia interna (cinética das partículas para um gás ideal), H=U+pV é a entalpia por mol e pV para um mol de gás ideal vale \displaystyle pV=RT.

Passo 3

Energia interna de um gás monoatômico (equipartição):
A teoria da equipartição diz que cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}RT para a energia por mol. Um átomo monoatômico em 3D tem f=3 graus de liberdade (três componentes de velocidade). Logo a energia interna por mol é
U=\frac{f}{2}RT=\frac{3}{2}RT.
Agora calculamos C_{V} diferenciando U em relação a T:
C_{V}=\frac{dU}{dT}=\frac{3}{2}R.
Aqui explico: C_V tem unidade \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1} e indica quanto de energia (por mol) é preciso para elevar a temperatura em 1\\ \text{K} mantendo o volume fixo.

Passo 4

Relação entre C_{P} e C_{V} (Mayer):
Parto da definição de entalpia por mol:
H=U+pV.
Para um mol de gás ideal usamos pV=RT, então
H=U+RT.
Derivando H em relação a T a pressão constante (ou simplesmente diferenciando a expressão, já que U e RT dependem só de T),
C_{P}=\frac{dH}{dT}=\frac{dU}{dT}+R=C_{V}+R.
Isso é a conhecida relação de Mayer: C_{P}=C_{V}+R. Explicação intuitiva: em processo a pressão constante, além de aumentar a energia interna você precisa fornecer energia para o trabalho de expansão p\,\Delta V, e esse extra aparece como um +R por mol.

Passo 5

Aplicando ao gás monoatômico: como C_{V}=\tfrac{3}{2}R, obtemos
C_{P}=C_{V}+R=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
Esta é a expressão molar do calor específico a pressão constante para um gás ideal monoatômico.

Passo 6

Valor numérico aproximado e versão por unidade de massa:
  • Substituindo R=8,314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1},
C_{P}=\frac{5}{2}R\approx\frac{5}{2}\cdot 8,314\approx 20,785\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
(Aqui eu arredondei; muitas vezes se usa C_{P}\approx 20,8\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}.)
  • Se você quiser o calor específico por unidade de massa (por \text{kg}), use a massa molar M em \text{kg mol}^{-1} e faça
c_{p}=\frac{C_{P}}{M}=\frac{5}{2}\,\frac{R}{M}.
Por exemplo, para hélio com M=4{,}00\\ \text{g mol}^{-1}=0{,}00400\\ \text{kg mol}^{-1}, teríamos c_{p}\approx 5196\\ \text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1} (apenas um exemplo; não era exigido mas ilustra como usar a fórmula).

Passo 7

Resumo prático para a prova (decorar e aplicar rápido):
  • Regra geral: C_{V}=\dfrac{f}{2}R e C_{P}=C_{V}+R.
  • Para monoatômico f=3 C_{V}=\tfrac{3}{2}R e C_{P}=\tfrac{5}{2}R.
    Vai tranquilo: ao ver “monoatômico” pense logo em 3/2 e 5/2.

Resposta

\displaystyle C_{P}=\frac{5}{2}R\approx 20,785\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}
\displaystyle c_{p}=\frac{5}{2}\frac{R}{M}

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