Questão 4: Resolva o problema de valor inicial abaixo
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-14 y=0 \\\ y(0)=y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Especificamente ele fornece:
\begin{cases} y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-14y=0,\\[4pt] y(0)=2,\\[4pt] y^{\prime}(0)=2. \end{cases}
A pergunta implícita é: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática passo a passo): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-14y=0,
uma técnica padrão é procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é um número a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando e^{rx} obtemos múltiplos de e^{rx}, e assim a equação se reduz a uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} na ODE obtemos a chamada equação característica (um polinômio em r).

Passo 3

Formação e solução da equação característica. Substituindo y=e^{rx} na equação,
y^{\prime\prime}=r^{2}e^{rx},\qquad y^{\prime}=r e^{rx},
logo a ODE vira
r^{2}e^{rx}-2r e^{rx}-14 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2}-2r-14=0.
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-14)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+56}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{60}}{2}.
Observando \sqrt{60}=\sqrt{4\cdot15}=2\sqrt{15}, temos
r=\frac{2\pm 2\sqrt{15}}{2}=1\pm\sqrt{15}.
Portanto as duas raízes são reais e distintas:
r_{1}=1+\sqrt{15},\qquad r_{2}=1-\sqrt{15}.

Passo 4

Forma geral da solução. Para duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da ODE homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão fixadas pelas condições iniciais. Substituindo as raízes:
y(x)=C_{1}e^{(1+\sqrt{15})x}+C_{2}e^{(1-\sqrt{15})x}.

Passo 5

Cálculo da derivada y^{\prime}(x). Derivando termo a termo:
y^{\prime}(x)=C_{1}(1+\sqrt{15})e^{(1+\sqrt{15})x}+C_{2}(1-\sqrt{15})e^{(1-\sqrt{15})x}.
Agora usamos as condições iniciais em x=0.

Passo 6

Aplicando y(0)=2. Avaliando y(x) em x=0:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=2.
Então obtemos a primeira equação para C_{1} e C_{2}:
C_{1}+C_{2}=2.

Passo 7

Aplicando y^{\prime}(0)=2. Avaliando y^{\prime}(x) em x=0:
y^{\prime}(0)=C_{1}(1+\sqrt{15})+C_{2}(1-\sqrt{15})=2.
Assim a segunda equação é
(1+\sqrt{15})C_{1}+(1-\sqrt{15})C_{2}=2.

Passo 8

Resolver o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\). Temos o sistema \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] (1+\sqrt{15})C_{1}+(1-\sqrt{15})C_{2}=2. \end{cases}
Uma maneira prática é eliminar C_{2}\]. Multiplique a primeira equação por \((1-\sqrt{15}) e subtraia da segunda:
\bigl[(1+\sqrt{15})C_{1}+(1-\sqrt{15})C_{2}\bigr]- (1-\sqrt{15})(C_{1}+C_{2})=2-(1-\sqrt{15})\cdot 2.
No lado esquerdo, os termos com C_{2} cancelam, restando
\bigl[(1+\sqrt{15})-(1-\sqrt{15})\bigr]C_{1}=2\bigl(1-(1-\sqrt{15})\bigr).
Calcule os coeficientes: (1+\sqrt{15})-(1-\sqrt{15})=2\sqrt{15} e 1-(1-\sqrt{15})=\sqrt{15}. Então
2\sqrt{15}\,C_{1}=2\sqrt{15}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.
Usando C_{1}+C_{2}=2 segue que
C_{2}=2-C_{1}=1.]

Passo 9

Escrever a solução particular final e apresentar uma forma alternativa. Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=1 na solução geral:
y(x)=e^{(1+\sqrt{15})x}+e^{(1-\sqrt{15})x}.
Podemos factorar e^{x} para uma forma mais compacta usando a identidade hiperbólica \operatorname{cosh} t=\tfrac{1}{2}(e^{t}+e^{-t}). De fato,
y(x)=e^{x}\bigl(e^{\sqrt{15}\,x}+e^{-\sqrt{15}\,x}\bigr)=2e^{x}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{15}\,x\bigr).
Essa forma é útil para ver simetrias e comportamentos (por exemplo crescimento exponencial multiplicado por \operatorname{cosh}).

Resposta

y(x)=e^{(1+\sqrt{15})x}+e^{(1-\sqrt{15})x}=2e^{x}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{15}\,x\bigr).

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