A pergunta implícita é: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática passo a passo): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes como
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-14y=0,
uma técnica padrão é procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é um número a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando e^{rx} obtemos múltiplos de e^{rx}, e assim a equação se reduz a uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} na ODE obtemos a chamada equação característica (um polinômio em r).
Passo 3
Formação e solução da equação característica. Substituindo y=e^{rx} na equação,
Resolver o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\). Temos o sistema
\[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] (1+\sqrt{15})C_{1}+(1-\sqrt{15})C_{2}=2. \end{cases}
Uma maneira prática é eliminar C_{2}\]. Multiplique a primeira equação por \((1-\sqrt{15}) e subtraia da segunda: