As derivadas parciais de primeira ordem de uma função nos fornecem as taxas de variação dessa função na direção dos eixos coordenados. Quando queremos avaliar essas taxas em outras direções devemos utilizar as derivadas direcionais. Considerando os aspectos relacionados as derivadas direcionais, analise os itens que seguem. Ao avaliarmos a taxa de variação de uma função em direção a determinado vetor, devemos considerar esse vetor como sendo unitário. A derivada parcial de uma função em relação a x é um caso especial da derivada direcional de uma função quando o vetor considerado é u = (0, 1). III. A derivada parcial de uma função em relação a y é um caso especial da derivada direcional de uma função quando o vetor considerado é u = (1, 0). Assinale a alternativa correta. Escolha uma:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com derivadas parciais e derivadas direcionais, que são conceitos do cálculo multivariável. Precisamos entender como as derivadas parciais se relacionam com as derivadas direcionais e verificar se as afirmações apresentadas estão corretas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que derivadas parciais nos mostram como uma função muda quando movemos apenas em uma direção específica, ao longo de um dos eixos coordenados. Já as derivadas direcionais generalizam isso para qualquer direção, não apenas ao longo dos eixos.

Passo 3

Quando queremos calcular a derivada direcional de uma função em uma direção qualquer, é fundamental que o vetor que define essa direção seja unitário. Isso significa que o vetor tem comprimento 1. Se não for unitário, precisamos normalizá-lo dividindo-o pelo seu comprimento.

Passo 4

Agora, vamos analisar as afirmações:
  • Afirmação II: “A derivada parcial de uma função em relação a x é um caso especial da derivada direcional de uma função quando o vetor considerado é u = (0, 1).”
    Aqui, há um erro. A derivada parcial em relação a x corresponde à direção do eixo x, ou seja, o vetor deveria ser u = (1, 0), não (0, 1).
  • Afirmação III: “A derivada parcial de uma função em relação a y é um caso especial da derivada direcional de uma função quando o vetor considerado é u = (1, 0).”
    Novamente, há um erro. A derivada parcial em relação a y corresponde à direção do eixo y, então o vetor correto seria u = (0, 1), não (1, 0).

Passo 5

Com base nisso, ambas as afirmações II e III estão invertidas em relação aos vetores que deveriam representar as direções das derivadas parciais.

Resposta

Nenhuma das afirmações II e III está correta.

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