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Encontre o valor médio de F(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2.
O valor médio de F sobre o cubo Q é dado por: integral tripla de F(x,y,z) dx dy dz/V
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2
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Encontre o valor médio de F(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2.
O valor médio de F sobre o cubo Q é dado por: integral tripla de F(x,y,z) dx dy dz/V
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor médio da função $ F(x, y, z) = xyz $ dentro de um cubo no primeiro octante, ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos, e limitado pelos planos coordenados $ x=0 $, $ y=0 $, $ z=0 $ e pelos planos $ x=2 $, $ y=2 $ e $ z=2 $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de valor médio em cálculo multivariado, que envolve calcular uma integral tripla da função sobre o volume do cubo e depois dividir pelo volume total desse cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o valor médio de uma função $ F(x, y, z) $ sobre um volume $ Q $ é dado pela integral tripla de $ F $ sobre $ Q $ dividida pelo volume $ V $ de $ Q $. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, $ V $ é o volume do cubo. Como estamos lidando com um cubo de aresta 2, o volume $ V $ é:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular a integral de $ F(x, y, z) = xyz $ sobre o cubo. Os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ vão de 0 a 2, já que o cubo está limitado por $ x=2 $, $ y=2 $ e $ z=2 $.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ x $:
Então, a integral se reduz a:
Passo 5
Agora, integramos em relação a $ y $:
Substituindo de volta, temos:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a $ z $:
Então, a integral tripla de $ xyz $ sobre o cubo é 8.
Passo 7
Agora, para encontrar o valor médio, dividimos essa integral pelo volume do cubo, que já calculamos ser 8:
Resposta
A resposta correta é a alternativa c) 1.