Seja a reta r que passa por A = (1,−1,4) e tem direção do vetor v = [2,3,2]. Encontrar as equações paramétricas de r, em seguida, assinale a ALTERNATIVA CORRETA.
A) x = 1 - 2 t y = - 1 + 3 t z = 4 + 2 t
B) x = 1 + 2 t y = - 1 - 3 t z = 4 + 2 t
C) x = 1 - 2 t y = 1 - 3 t z = 4 - 2 t
D) x = 1 + 2 t y = - 1 + 3 t z = 4 - 2 t
E) x = 1 + 2 t y = - 1 + 3 t z = 4 + 2 t

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto A = (1, −1, 4) e que tem direção do vetor v = [2, 3, 2]. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula das equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para escrever as equações paramétricas de uma reta. Se a reta passa por um ponto $ A = (x_0, y_0, z_0) $ e tem direção do vetor $ \vec{v} = [a, b, c] $, então as equações paramétricas são:
A = (x0, y0, z0)
Aqui, $ t $ é o parâmetro que vai variar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar os valores que a gente tem. O ponto A é (1, −1, 4), então $ x_0 = 1 $, $ y_0 = -1 $ e $ z_0 = 4 $. O vetor de direção $ \vec{v} = [2, 3, 2] $ nos dá $ a = 2 $, $ b = 3 $ e $ c = 2 $.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula, fica assim:
x = 1 + 2 t y = -1 + 3 t z = 4 + 2 t
Então, essas são as equações paramétricas da reta.

Resposta

A alternativa correta é a E):
x = 1 + 2 t y = -1 + 3 t z = 4 + 2 t

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