Derivar as funções implícitas e achar z_{x} e z_{y}, nas expressões abaixo
2 x^{3}-4 y^{2}-e^{z}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
2x^{3}-4y^{2}-e^{z}=0
e pede para encontrar as derivadas parciais \,z_x e \,z_y supondo que z depende implicitamente de x e y, ou seja z=z(x,y).
Informações relevantes que temos:
  • A expressão relaciona x, y e z sem isolar z.
  • Queremos as derivadas parciais de z: \,z_x=\dfrac{\partial z}{\partial x} e \,z_y=\dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (explicadinhos):
  • Derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos y como constante; ao calcular \dfrac{\partial}{\partial y} tratamos x como constante.
  • Regra da cadeia para funções compostas: se z=z(x,y), então ao derivar e^{z(x,y)} em relação a x obtemos
\frac{\partial}{\partial x}e^{z(x,y)}=e^{z(x,y)}\cdot z_x.
Isto acontece porque a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, e depois multiplica-se pela derivada de u em relação a x (que é z_x). O mesmo vale para derivação em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}e^{z(x,y)}=e^{z(x,y)}\cdot z_y.

Passo 3

Vamos derivar implicitamente em relação a x. Aplicando \dfrac{\partial}{\partial x} termo a termo na equação
2x^{3}-4y^{2}-e^{z}=0,
temos:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{3}) = 6x^{2} (regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, e o 2 é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-4y^{2}) = 0 porque y é tratado como constante quando derivamos em relação a x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-e^{z}) = -\dfrac{\partial}{\partial x}(e^{z}) = -e^{z}\,z_x pela regra da cadeia explicada acima.
Somando as partes e igualando a zero:
6x^{2} + 0 - e^{z} z_x = 0.
Agora isolamos z_x (passo algébrico simples): mover o termo com z_x para o outro lado e dividir por e^{z}:
e^{z} z_x = 6x^{2}\quad\Rightarrow\quad z_x = \frac{6x^{2}}{e^{z}}.

Passo 4

Agora derivamos implicitamente em relação a y. Aplicando \dfrac{\partial}{\partial y} na equação original:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{3}) = 0 porque x é constante ao derivar em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-4y^{2}) = -8y (regra do poder).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-e^{z}) = -e^{z}\,z_y pela regra da cadeia.
Somando:
0 - 8y - e^{z} z_y = 0.
Isolando z_y:
-e^{z} z_y = 8y \quad\Rightarrow\quad e^{z} z_y = -8y \quad\Rightarrow\quad z_y = \frac{-8y}{e^{z}}.

Passo 5

Formas alternativas e interpretação rápida:
  • É comum escrever as respostas multiplicando por e^{-z}, pois \dfrac{1}{e^{z}}=e^{-z}. Assim:
z_x = 6x^{2}e^{-z},\qquad z_y = -8y\,e^{-z}.
  • Se em prova der um ponto específico (x_0,y_0,z_0) que satisfaça a equação original, basta substituir x=x_0, y=y_0, z=z_0 nessas fórmulas para obter os valores numéricos das derivadas parciais.
Força — você já tem as fórmulas prontas para aplicar em qualquer ponto que satisfaça a equação!

Resposta

z_x=\dfrac{6x^{2}}{e^{z}}=6x^{2}e^{-z}
z_y=\dfrac{-8y}{e^{z}}=-8y\,e^{-z}

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