Derivar as funções implícitas e achar
e
, nas expressões abaixo
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para encontrar as derivadas parciais
e
supondo que
depende implicitamente de
e
, ou seja
.
Informações relevantes que temos:
- A expressão relaciona
, e sem isolar . - Queremos as derivadas parciais de
: e .
Passo 2
Conceitos fundamentais que vou usar (explicadinhos):
- Derivada parcial: ao calcular
tratamos como constante; ao calcular tratamos como constante. - Regra da cadeia para funções compostas: se
, então ao derivar em relação a obtemos
Isto acontece porque a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplica-se pela derivada de
em relação a
(que é
). O mesmo vale para derivação em relação a
:
Passo 3
Vamos derivar implicitamente em relação a
. Aplicando
termo a termo na equação
temos:
-
(regra do poder: , e o é constante). -
porque é tratado como constante quando derivamos em relação a . -
pela regra da cadeia explicada acima.
Somando as partes e igualando a zero:
Agora isolamos
(passo algébrico simples): mover o termo com
para o outro lado e dividir por
:
Passo 4
Agora derivamos implicitamente em relação a
. Aplicando
na equação original:
-
porque é constante ao derivar em relação a . -
(regra do poder). -
pela regra da cadeia.
Somando:
Isolando
:
Passo 5
Formas alternativas e interpretação rápida:
- É comum escrever as respostas multiplicando por
, pois . Assim:
- Se em prova der um ponto específico
que satisfaça a equação original, basta substituir , , nessas fórmulas para obter os valores numéricos das derivadas parciais.
Força — você já tem as fórmulas prontas para aplicar em qualquer ponto que satisfaça a equação!