Derivar as funções implícitas e achar
, nas expressões abaixo
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que se pede: determinar a derivada implícita
(ou seja,
) a partir dessa equação.
Informações relevantes: é considerada uma função de
(portanto, ao derivar termos que contenham
, aparece
). Não há outras condições numéricas fornecidas.
Informações relevantes:
Passo 2
Vou lembrar as regras de diferenciação que vou usar (explicando de forma bem prática):
- Regra do produto: se
e então
Significa: derive um dos fatores mantendo o outro, depois some ao produto do primeiro fator pelo derivado do segundo.
- Regra da cadeia: se
é uma função e , então
No nosso caso, para
temos
e
, então a derivada será
vezes a derivada de
.
- Derivado de uma função composta envolvendo
: como ,
Um exemplo rápido (para ver a ideia):
.
Passo 3
Derivo ambos os lados da equação em relação a
. Derivando termo a termo:
Primeiro termo:
.
Aplicando constante 2 e regra do produto em :
Aplicando constante 2 e regra do produto em
Usando
, obtemos
Passo 4
Segundo termo:
.
Usando regra da cadeia com :
Usando regra da cadeia com
Agora
(regra do produto, lembrando que
). Portanto
Passo 5
O terceiro termo
tem derivada zero. Somando tudo e igualando a zero (derivada do lado direito):
Passo 6
Reorganizo para agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Os termos com são
e
. Os termos sem
são
e
. Então
Os termos com
Passo 7
Fatorando
nos termos que o contêm:
Isolo
:
Passo 8
Divido ambos os lados pelo fator
(assumindo que não é zero nos pontos considerados) para obter explicitamente
:
Posso fatorar
no numerador e
no denominador para uma forma mais compacta: