Derivar as funções implícitas e achar y_{x}, nas expressões abaixo
2 x y^{2}+\operatorname{sen}(x y)-1=0

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
2 x y^{2}+\sin(x y)-1=0.
O que se pede: determinar a derivada implícita y_{x} (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) a partir dessa equação.
Informações relevantes: y é considerada uma função de x (portanto, ao derivar termos que contenham y, aparece y_{x}). Não há outras condições numéricas fornecidas.

Passo 2

Vou lembrar as regras de diferenciação que vou usar (explicando de forma bem prática):
  • Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x) então
(uv)'=u'v+uv'.
Significa: derive um dos fatores mantendo o outro, depois some ao produto do primeiro fator pelo derivado do segundo.
  • Regra da cadeia: se F(t) é uma função e t=t(x), então
\frac{d}{dx}F(t(x))=F'(t(x))\cdot t'(x).
No nosso caso, para \sin(xy) temos F=\sin e t=xy, então a derivada será \cos(xy) vezes a derivada de xy.
  • Derivado de uma função composta envolvendo y: como y=y(x),
\frac{d}{dx}y^{2}=2y\cdot y_{x}.
Um exemplo rápido (para ver a ideia): \frac{d}{dx}(x\cdot y(x))=1\cdot y + x\cdot y_{x}=y+x y_{x}.

Passo 3

Derivo ambos os lados da equação em relação a x. Derivando termo a termo:
Primeiro termo: \;2x y^{2}.
Aplicando constante 2 e regra do produto em x\cdot y^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(2x y^{2}\bigr)=2\frac{d}{dx}(x y^{2})=2\bigl(1\cdot y^{2}+x\cdot\frac{d}{dx}(y^{2})\bigr).
Usando \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y y_{x}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(2x y^{2}\bigr)=2\bigl(y^{2}+x\cdot 2y y_{x}\bigr)=2y^{2}+4x y y_{x}.

Passo 4

Segundo termo: \;\sin(xy).
Usando regra da cadeia com u=xy:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(xy)\bigr)=\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy).
Agora \dfrac{d}{dx}(xy)=y+x y_{x} (regra do produto, lembrando que y=y(x)). Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(xy)\bigr)=\cos(xy)\bigl(y+x y_{x}\bigr).

Passo 5

O terceiro termo -1 tem derivada zero. Somando tudo e igualando a zero (derivada do lado direito):
\bigl(2y^{2}+4x y y_{x}\bigr)+\cos(xy)\bigl(y+x y_{x}\bigr)+0=0.

Passo 6

Reorganizo para agrupar os termos que contêm y_{x} e os que não contêm:
Os termos com y_{x} são 4x y y_{x} e \cos(xy)\cdot x y_{x}. Os termos sem y_{x} são 2y^{2} e \cos(xy)\cdot y. Então
4x y y_{x}+x\cos(xy)\,y_{x}+2y^{2}+y\cos(xy)=0.

Passo 7

Fatorando y_{x} nos termos que o contêm:
\bigl(4x y + x\cos(xy)\bigr)y_{x}+2y^{2}+y\cos(xy)=0.
Isolo y_{x}:
\bigl(4x y + x\cos(xy)\bigr)y_{x}=-\bigl(2y^{2}+y\cos(xy)\bigr).

Passo 8

Divido ambos os lados pelo fator \,4x y + x\cos(xy)=x\bigl(4y+\cos(xy)\bigr)\, (assumindo que não é zero nos pontos considerados) para obter explicitamente y_{x}:
y_{x}=\frac{-\bigl(2y^{2}+y\cos(xy)\bigr)}{4x y + x\cos(xy)}.
Posso fatorar y no numerador e x no denominador para uma forma mais compacta:
y_{x}=-\frac{y\bigl(2y+\cos(xy)\bigr)}{x\bigl(4y+\cos(xy)\bigr)}.

Resposta

y_{x}=-\dfrac{2y^{2}+y\cos(xy)}{4x y + x\cos(xy)} = -\dfrac{y\bigl(2y+\cos(xy)\bigr)}{x\bigl(4y+\cos(xy)\bigr)}.

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