Considere que
seja dada implicitamente como uma função diferenciável das outras variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis têm os valores dados.
Se
, ache
quando
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas de
em relação a
e em relação a
, supondo que
esteja dada implicitamente como função diferenciável de
e
, a partir da equação
Os valores onde devemos avaliar as derivadas são
,
e
.
As quantidades pedidas são:
As quantidades pedidas são:
-
(derivando a equação em relação a , mantendo constante); -
(derivando a equação em relação a , mantendo constante).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): coloque a equação como
, onde
Se
, a diferenciação implícita dá, usando derivadas parciais,
Aqui
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
respectivamente. Isso vem do fato de que ao diferenciar
com respeito a
(mantendo
fixo) obtemos
, e de modo análogo para
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Começando por
: cada termo da função é tratado como função de
com
e
tratados como constantes ao derivar parcialmente em
.
Derivando termo a termo,
Portanto
Passo 4
Agora
: derivando em relação a
mantendo
e
constantes.
Assim
Passo 5
E
: derivando em relação a
mantendo
e
constantes.
Logo
Passo 6
Agora avaliamos
,
e
no ponto
. Vamos calcular passo a passo.
Para
:
Substituindo
,
,
:
Somando:
Para
:
Substituindo:
Somando:
Para
:
Substituindo:
Somando:
Resumo dos valores no ponto:
Passo 7
Finalmente aplicamos as fórmulas obtidas no Passo 2:
Calculando as frações: