Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das outras variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis têm os valores dados.
Se x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0, ache \frac{d y}{d x} e \quad \frac{d y}{d z} quando x=1, \quad y=2, \quad z=-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas de y em relação a x e em relação a z, supondo que y esteja dada implicitamente como função diferenciável de x e z, a partir da equação
x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0.
Os valores onde devemos avaliar as derivadas são x=1, y=2 e z=-1.
As quantidades pedidas são:
  • \dfrac{d y}{d x} (derivando a equação em relação a x, mantendo z constante);
  • \dfrac{d y}{d z} (derivando a equação em relação a z, mantendo x constante).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): coloque a equação como F(x,y,z)=0, onde
F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}.
Se y=y(x,z), a diferenciação implícita dá, usando derivadas parciais,
\text{para } \dfrac{d y}{d x}:\quad F_x+F_y\frac{d y}{d x}=0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{d y}{d x} = -\frac{F_x}{F_y},
\text{para } \dfrac{d y}{d z}:\quad F_z+F_y\frac{d y}{d z}=0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{d y}{d z} = -\frac{F_z}{F_y}.
Aqui F_x, F_y e F_z são as derivadas parciais de F em relação a x, y e z respectivamente. Isso vem do fato de que ao diferenciar F(x,y(x,z),z)=0 com respeito a x (mantendo z fixo) obtemos F_x + F_y\,y_x =0, e de modo análogo para z.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de F. Começando por F_x: cada termo da função é tratado como função de x com y e z tratados como constantes ao derivar parcialmente em x.
F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}.
Derivando termo a termo,
\frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2} z\big)=y^{2} z,
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3 x^{2} y z\big)=-6 x y z,
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=\frac{2 z}{y},
\frac{\partial}{\partial x}\big(-z^{2}\big)=0.
Portanto
F_x = y^{2} z -6 x y z + \frac{2 z}{y}.

Passo 4

Agora F_y: derivando em relação a y mantendo x e z constantes.
\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2} z\big)=2 x y z,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 x^{2} y z\big)=-3 x^{2} z,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=-\frac{2 x z}{y^{2}}\quad\text{(regra da derivada de }1/y\text{)},
\frac{\partial}{\partial y}\big(-z^{2}\big)=0.
Assim
F_y = 2 x y z -3 x^{2} z - \frac{2 x z}{y^{2}}.

Passo 5

E F_z: derivando em relação a z mantendo x e y constantes.
\frac{\partial}{\partial z}\big(x y^{2} z\big)=x y^{2},
\frac{\partial}{\partial z}\big(-3 x^{2} y z\big)=-3 x^{2} y,
\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=\frac{2 x}{y},
\frac{\partial}{\partial z}\big(-z^{2}\big)=-2 z.
Logo
F_z = x y^{2} - 3 x^{2} y + \frac{2 x}{y} - 2 z.

Passo 6

Agora avaliamos F_x, F_y e F_z no ponto (x,y,z)=(1,2,-1). Vamos calcular passo a passo.
Para F_x:
F_x = y^{2} z -6 x y z + \frac{2 z}{y}.
Substituindo x=1, y=2, z=-1:
y^{2} z = 4\cdot(-1)=-4,
-6 x y z = -6\cdot1\cdot2\cdot(-1)=12,
\frac{2 z}{y}=\frac{2\cdot(-1)}{2}=-1.
Somando: F_x = -4 + 12 -1 = 7.
Para F_y:
F_y = 2 x y z -3 x^{2} z - \frac{2 x z}{y^{2}}.
Substituindo:
2 x y z = 2\cdot1\cdot2\cdot(-1)=-4,
-3 x^{2} z = -3\cdot1\cdot(-1)=3,
-\frac{2 x z}{y^{2}} = -\frac{2\cdot1\cdot(-1)}{4} = -\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}.
Somando: F_y = -4 + 3 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Para F_z:
F_z = x y^{2} - 3 x^{2} y + \frac{2 x}{y} - 2 z.
Substituindo:
x y^{2} = 1\cdot4=4,
-3 x^{2} y = -3\cdot1\cdot2 = -6,
\frac{2 x}{y}=\frac{2\cdot1}{2}=1,
-2 z = -2\cdot(-1)=2.
Somando: F_z = 4 -6 +1 +2 = 1.
Resumo dos valores no ponto: F_x(1,2,-1)=7,\; F_y(1,2,-1)=-\tfrac{1}{2},\; F_z(1,2,-1)=1.

Passo 7

Finalmente aplicamos as fórmulas obtidas no Passo 2:
\frac{d y}{d x} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{7}{-\tfrac{1}{2}},
\frac{d y}{d z} = -\frac{F_z}{F_y} = -\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}.
Calculando as frações:
\frac{d y}{d x} = \frac{7}{\tfrac{1}{2}} = 14, \qquad \frac{d y}{d z} = \frac{1}{\tfrac{1}{2}} = 2.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=14
\dfrac{d y}{d z}=2

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