Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
Resolução:
A função pode ser escrita assim:
, onde:
Então:
Então:
Então:
Então:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações dadas:
- A função é dada explicitamente em termos de
. - Pode-se reconhecer uma raiz quadrada da expressão
.
A tarefa é calcular.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a raiz como potência para usar a regra da potência. Escrevemos
Para aplicar a derivação nesse tipo de função compostas, é muito útil usar a substituição
e a regra da cadeia. Então introduzimos
Passo 3
Explicando a regra que vamos usar (regra da cadeia):
Se e
, então
Se
Aqui
e
. A ideia é derivar a parte externa em relação a
e multiplicar pela derivada da parte interna em relação a
.
Passo 4
Derivada da parte externa (regra da potência):
Se então
.
Aplicando com :
Se
Aplicando com
Aqui expliquei cada transformação:
e
.
Passo 5
Derivada da parte interna:
Justificativa: a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia e simplificamos passo a passo:
Cancelando o
:
Voltando à variável
(substituindo
):
Observação prática: o denominador
é sempre positivo para todo
, então a derivada está definida para todo
.