Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
y=\sqrt{x^{2}+4}

Resolução:

A função pode ser escrita assim: y=u^{1 / 2}, onde:
\mathrm{u}=\mathrm{x}^{2}+4
Então:
\frac{d y}{d u}=\frac{1}{2} \cdot u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} \cdot u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 u^{1 / 2}}=\frac{1}{2 \sqrt{u}}
\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=2 \mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{du}=2 \mathrm{xdx}
Então:
\frac{d y}{d u}=\frac{d y}{2 x d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x^{2}+4}}
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y=\sqrt{x^{2}+4}.
Informações dadas:
  • A função é dada explicitamente em termos de x.
  • Pode-se reconhecer uma raiz quadrada da expressão x^{2}+4.
    A tarefa é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a raiz como potência para usar a regra da potência. Escrevemos
y=(x^{2}+4)^{1/2}.
Para aplicar a derivação nesse tipo de função compostas, é muito útil usar a substituição u=x^{2}+4 e a regra da cadeia. Então introduzimos
u=x^{2}+4,\qquad y=u^{1/2}.

Passo 3

Explicando a regra que vamos usar (regra da cadeia):
Se y=g(u) e u=h(x), então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui g(u)=u^{1/2} e h(x)=x^{2}+4. A ideia é derivar a parte externa em relação a u e multiplicar pela derivada da parte interna em relação a x.

Passo 4

Derivada da parte externa (regra da potência):
Se g(u)=u^{n} então \dfrac{dg}{du}=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}\,u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\,u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui expliquei cada transformação: u^{\frac{1}{2}-1}=u^{-1/2} e u^{-1/2}=1/\sqrt{u}.

Passo 5

Derivada da parte interna:
u=x^{2}+4 \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx}=2x.
Justificativa: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante ( 4) é 0.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia e simplificamos passo a passo:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x.
Cancelando o 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2\sqrt{u}}=\frac{x}{\sqrt{u}}.
Voltando à variável x (substituindo u=x^{2}+4):
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Observação prática: o denominador \sqrt{x^{2}+4} é sempre positivo para todo x, então a derivada está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}

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