Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
y=\frac{2}{x+1}

Resolução:

A função pode ser escrita assim: y=2(x+1)^{-1} ou:
\mathrm{y}=2 \mathrm{u}^{-1}, com \mathrm{u}=\mathrm{x}+1
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{du}}=-2 \mathrm{u}^{-1-1}=-2 \mathrm{u}^{-2}=-\frac{2}{\mathrm{u}^{2}}
\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=1 \Rightarrow \mathrm{du}=\mathrm{dx}
Então:
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{du}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{2}{(\mathrm{x}+1)^{2}}
\frac{d y}{d x}=-\frac{2}{(x+1)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a função y=\dfrac{2}{x+1}.
  • Pedido: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} dessa função.

Passo 2

Reescrever a função numa forma que facilite o uso da regra do poder (power rule). Transformar a divisão em potência:
y=2(x+1)^{-1}.
Isto é só álgebra: escrever 1/(x+1) como (x+1)^{-1}.

Passo 3

Lembrar a regra que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Regra do poder (para uma função \,u(x)^{n}\,): a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna (pode ser x+1) e u'(x) é a derivada de u em relação a x. Essa fórmula é uma combinação da regra do poder e da regra da cadeia (chain rule). Explicando em palavras: primeiro “puxa-se” o expoente n como fator, diminui-se o expoente em uma unidade e multiplica-se pela derivada da parte interna.

Passo 4

Identificar a parte interna e a externa para aplicar a regra:
  • Parte interna: u(x)=x+1.
  • Função exterior (multiplicada por constante): y=2\cdot u^{-1}.
Aplicar a regra do poder à função exterior 2\cdot u^{-1}. A constante 2 pode ser colocada à frente da derivada:
\frac{dy}{du}=2\cdot\frac{d}{du}\bigl(u^{-1}\bigr).

Passo 5

Derivar u^{-1} em relação a u usando a regra do poder com n=-1:
\frac{d}{du}\bigl(u^{-1}\bigr)=-1\cdot u^{-2}=-u^{-2}.
Portanto
\frac{dy}{du}=2\cdot(-u^{-2})=-2u^{-2}.

Passo 6

Agora calcular a derivada da parte interna em relação a x:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x+1)=1,
pois a derivada de x é 1 e a derivada da constante 1 é 0.

Passo 7

Aplicar a regra da cadeia completa: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}. Já temos \dfrac{dy}{du}=-2u^{-2} e \dfrac{du}{dx}=1, então
\frac{dy}{dx}=-2u^{-2}\cdot 1=-2u^{-2}.
Substituir u=x+1 para voltar à variável x. A forma final em x está indicada na seção de resposta.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{(x+1)^{2}}

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