Determine o ponto (
) correspondente ao vértice da parábola
.
Dica: a inclinação da reta tangente ao vértice da parábola é nula.
Resolução
(inclinação é nula)
Então o ponto é
Dica: a inclinação da reta tangente ao vértice da parábola é nula.
Então o ponto é
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- A função dada é
. - A pergunta é: determinar o ponto
correspondente ao vértice da parábola. - Dica fornecida: a inclinação da reta tangente no vértice da parábola é nula (ou seja, a derivada em relação a
vale zero no vértice). - Informação útil que vamos usar: a derivada de
em relação a fornece a inclinação da tangente em cada ponto; para encontrar o vértice usando a dica basta calcular e impor .
Passo 2
Calcular a derivada
da função passo a passo:
- Regra usada: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante vezes é essa constante. - Aplicando isso em
:
Passo 3
Usar a dica: no vértice a inclinação da tangente é nula, então imponha
e resolva para
:
Resolver a equação linear:
Portanto a coordenada
do vértice é
.
Passo 4
Calcular a coordenada
correspondente substituindo
na função
. Fazer as contas devagar para poder reproduzir na prova sem calculadora:
Para subtrair frações com denominador diferente, escrever
como
:
Assim a coordenada
do vértice é
.
Passo 5
Verificação e interpretação (por que isso é realmente um vértice e por que é mínimo):
- Segunda derivada: calcular
. Diferenciando obtemos
- Como
, a curva é côncava para cima naquele ponto, o que significa que o ponto encontrado é um mínimo local — isto é, o vértice da parábola (parábolas com coeficiente de positivo abrem para cima e têm vértice mínimo).
Passo 6
Método alternativo (completar o quadrado) — útil para decorar e resolver sem derivada:
- Reescrever
completando o quadrado:
Para completar o quadrado do termo
, acrescenta-se e subtrai-se
:
- Da forma
fica explícito que a parábola atinge o valor mínimo quando , confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Dica prática para a prova e incentivo:
- Método rápido: calcular
, igualar a zero e resolver para ; depois substituir para achar . É rápido e seguro. - Método sem cálculo: completar o quadrado para escrever a parábola na forma
; o vértice é . - Você conseguiu — é só praticar esse procedimento algumas vezes que fica automático. Vamos em frente que você tá indo bem!