Determine o ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) correspondente ao vértice da parábola \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}.
Dica: a inclinação da reta tangente ao vértice da parábola é nula.

Resolução

\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2 \mathrm{x}-1
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2 \mathrm{x}-1=0 (inclinação é nula)
2 \mathrm{x}-1=0 \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{1}{2}
\operatorname{Para} x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1-2}{4}=-\frac{1}{4}
Então o ponto é \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • A função dada é y = x^{2} - x.
  • A pergunta é: determinar o ponto (x,y) correspondente ao vértice da parábola.
  • Dica fornecida: a inclinação da reta tangente no vértice da parábola é nula (ou seja, a derivada em relação a x vale zero no vértice).
  • Informação útil que vamos usar: a derivada de y em relação a x fornece a inclinação da tangente em cada ponto; para encontrar o vértice usando a dica basta calcular \dfrac{dy}{dx} e impor \dfrac{dy}{dx}=0.

Passo 2

Calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função passo a passo:
  • Regra usada: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante vezes x é essa constante.
  • Aplicando isso em y = x^{2} - x:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 2x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) = 1
\therefore \frac{dy}{dx} = 2x - 1

Passo 3

Usar a dica: no vértice a inclinação da tangente é nula, então imponha \dfrac{dy}{dx}=0 e resolva para x:
2x - 1 = 0
Resolver a equação linear:
2x = 1
x = \frac{1}{2}
Portanto a coordenada x do vértice é \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a coordenada y correspondente substituindo x=\dfrac{1}{2} na função y=x^{2}-x. Fazer as contas devagar para poder reproduzir na prova sem calculadora:
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}
y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}
Para subtrair frações com denominador diferente, escrever \dfrac{1}{2} como \dfrac{2}{4}:
y=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1-2}{4}=-\frac{1}{4}
Assim a coordenada y do vértice é -\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Verificação e interpretação (por que isso é realmente um vértice e por que é mínimo):
  • Segunda derivada: calcular \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Diferenciando \dfrac{dy}{dx}=2x-1 obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2.
  • Como \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=2>0, a curva é côncava para cima naquele ponto, o que significa que o ponto encontrado é um mínimo local — isto é, o vértice da parábola (parábolas com coeficiente de x^{2} positivo abrem para cima e têm vértice mínimo).

Passo 6

Método alternativo (completar o quadrado) — útil para decorar e resolver sem derivada:
  • Reescrever y completando o quadrado:
y = x^{2} - x.
Para completar o quadrado do termo x^{2}-x, acrescenta-se e subtrai-se \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}:
y = x^{2} - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}
y = \bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{4}\bigr) - \frac{1}{4}
y = \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}
  • Da forma \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4} fica explícito que a parábola atinge o valor mínimo -\dfrac{1}{4} quando x=\dfrac{1}{2}, confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Dica prática para a prova e incentivo:
  • Método rápido: calcular \dfrac{dy}{dx}, igualar a zero e resolver para x; depois substituir para achar y. É rápido e seguro.
  • Método sem cálculo: completar o quadrado para escrever a parábola na forma \left(x-h\right)^{2}+k; o vértice é (h,k).
  • Você conseguiu — é só praticar esse procedimento algumas vezes que fica automático. Vamos em frente que você tá indo bem!

Resposta

\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)

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