Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
y=(3-2 x)^{2}

Resolução:

A função pode ser escrita assim: y=u^{2}, com u=3-2 x
\frac{d y}{d u}=2 u
\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=-2 \Rightarrow \mathrm{du}=-2 \mathrm{dx}
Então:
\begin{aligned} & \frac{d y}{d u}=\frac{d y}{-2 d x}=2(3-2 x) \\ & \frac{d y}{d x}=-4(3-2 x) \end{aligned} ]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se a derivada da função em relação a x.
  • A função dada é y=(3-2x)^{2}.
    Então precisamos encontrar \dfrac{dy}{dx} a partir de y=(3-2x)^{2}.

Passo 2

Estratégia e regra que vamos usar (explicação didática e amigável).
  • Aqui a função é uma composição: um quadrado aplicado a uma expressão linear. Quando temos uma composição do tipo y=g(u(x)), usamos a regra da cadeia para derivar.
  • A regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},
onde u é a função interior que depende de x. Isso significa: primeiro derivamos a função exterior em relação à u, depois multiplicamos pela derivada da função interior u(x) em relação a x.
  • Neste problema é natural fazer a substituição u=3-2x, de modo que y=u^{2}. Vou explicar passo a passo como aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Derivar a função exterior em relação a u.
  • Temos y=u^{2}.
  • A regra do “expoente” (regra do poder) diz que, para y=u^{n},
\frac{dy}{du}=n\,u^{\,n-1}.
  • Aplicando com n=2,
\frac{dy}{du}=2u.
  • Aqui u representa 3-2x, mas por enquanto tratamos u como variável intermediária.

Passo 4

Derivar a função interior u(x) em relação a x.
  • Definimos u=3-2x.
  • A derivada de uma constante é zero e a derivada de -2x é -2, portanto
\frac{du}{dx}=-2.
  • Intuitivamente: quando x aumenta uma unidade, u diminui 2 unidades.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia juntando as duas derivadas.
  • Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores,
\frac{dy}{dx}=(2u)\cdot(-2) = -4u.
  • Lembrando que u=3-2x, substitui-se de volta para escrever a derivada em função de x:
\frac{dy}{dx}=-4(3-2x).

Passo 6

Checagem alternativa (expandir e derivar) — reforço didático.
  • Outra maneira, para conferir, é expandir o quadrado antes de derivar:
(3-2x)^{2}=9-12x+4x^{2}.
  • Derivando termo a termo (regra do poder e da soma):
\frac{d}{dx}(9-12x+4x^{2})=0-12+8x.
  • A expressão obtida reordenada é 8x-12, que é algebraicamente igual a -4(3-2x). Assim confirmamos que os dois métodos dão o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=8x-12

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