Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
Resolução:
A função pode ser escrita assim:
, com
Então:
Então:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se a derivada da função em relação a
. - A função dada é
.
Então precisamos encontrara partir de .
Passo 2
Estratégia e regra que vamos usar (explicação didática e amigável).
- Aqui a função é uma composição: um quadrado aplicado a uma expressão linear. Quando temos uma composição do tipo
, usamos a regra da cadeia para derivar. - A regra da cadeia diz que
onde
é a função interior que depende de
. Isso significa: primeiro derivamos a função exterior em relação à
, depois multiplicamos pela derivada da função interior
em relação a
.
- Neste problema é natural fazer a substituição
, de modo que . Vou explicar passo a passo como aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Derivar a função exterior em relação a
.
- Temos
. - A regra do “expoente” (regra do poder) diz que, para
,
- Aplicando com
,
- Aqui
representa , mas por enquanto tratamos como variável intermediária.
Passo 4
Derivar a função interior
em relação a
.
- Definimos
. - A derivada de uma constante é zero e a derivada de
é , portanto
- Intuitivamente: quando
aumenta uma unidade, diminui unidades.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia juntando as duas derivadas.
- Pela regra da cadeia,
- Substituindo os resultados dos passos anteriores,
- Lembrando que
, substitui-se de volta para escrever a derivada em função de :
Passo 6
Checagem alternativa (expandir e derivar) — reforço didático.
- Outra maneira, para conferir, é expandir o quadrado antes de derivar:
- Derivando termo a termo (regra do poder e da soma):
- A expressão obtida reordenada é
, que é algebraicamente igual a . Assim confirmamos que os dois métodos dão o mesmo resultado.