Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal ao gráfico da função f dada por:
f(x)=2 x^{4}+x-32 nos pontos de abscissas 2 e -2.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função f nos pontos cujas abscissas são 2 e -2.
  • A função dada é \,f(x)=2x^{4}+x-32.
  • Para cada abscissa x_0\in\{2,-2\} precisamos:
    1. calcular a ordenada y_0=f(x_0) (ou seja, o ponto (x_0,y_0) no gráfico);
    2. encontrar a derivada f'(x) e avaliá‑la em x_0 para obter a inclinação da tangente;
    3. usar a forma ponto‑inclinação da reta para escrever a equação da tangente;
    4. obter a equação da normal, cuja inclinação é o inverso negativo da inclinação da tangente.

Passo 2

Calcular as ordenadas dos pontos:
f(2)=2\cdot 2^{4}+2-32=2\cdot16+2-32=32+2-32=2,
logo o ponto em x=2 é (2,2).
f(-2)=2\cdot(-2)^{4}+(-2)-32=2\cdot16-2-32=32-2-32=-2,
logo o ponto em x=-2 é (-2,-2).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) e relembrar as regras usadas.
  • Regra do poder (power rule): para g(x)=x^{n} vale g'(x)=n x^{n-1}.
  • Regra da constante multiplicativa: para h(x)=a\cdot x^{n} vale h'(x)=a\cdot n x^{n-1}.
  • Derivada de x é 1; derivada de constante é 0.
Aplicando a essas regras em \,f(x)=2x^{4}+x-32:
f'(x)=2\cdot 4 x^{3}+1\cdot 1 + 0 =8x^{3}+1.

Passo 4

Inclinação da reta tangente no ponto com x=2:
f'(2)=8\cdot 2^{3}+1=8\cdot8+1=64+1=65.
Portanto a tangente em x=2 tem inclinação m_{\text{t}}=65.

Passo 5

Equação da tangente em x=2 usando a forma ponto‑inclinação \,y-y_{0}=m(x-x_{0}):
y-2=65(x-2).
Simplificando para a forma y=mx+b:
y-2=65x-130 \quad\Rightarrow\quad y=65x-130+2=65x-128.

Passo 6

Inclinação da reta normal em x=2: é o inverso negativo da inclinação da tangente,
m_{\text{n}}=-\frac{1}{65}.
Equação da normal (forma ponto‑inclinação):
y-2=-\frac{1}{65}(x-2).
Colocando em forma reduzida:
y=2-\frac{1}{65}x+\frac{2}{65}=-\frac{1}{65}x+\frac{132}{65}.

Passo 7

Inclinação da reta tangente no ponto com x=-2:
f'(-2)=8\cdot(-2)^{3}+1=8\cdot(-8)+1=-64+1=-63.
Logo a tangente em x=-2 tem inclinação m_{\text{t}}=-63.

Passo 8

Equação da tangente em x=-2 pela forma ponto‑inclinação:
y-(-2)=-63\bigl(x-(-2)\bigr)\quad\Rightarrow\quad y+2=-63(x+2).
Simplificando:
y+2=-63x-126\quad\Rightarrow\quad y=-63x-126-2=-63x-128.

Passo 9

Inclinação da reta normal em x=-2: inverso negativo de -63,
m_{\text{n}}=-\frac{1}{m_{\text{t}}}=-\frac{1}{-63}=\frac{1}{63}.
Equação da normal (ponto‑inclinação):
y+2=\frac{1}{63}(x+2).
Colocando em forma reduzida:
y=\frac{1}{63}x+\frac{2}{63}-2=\frac{1}{63}x+\frac{2}{63}-\frac{126}{63}=\frac{1}{63}x-\frac{124}{63}.

Passo 10

Resumo final (as quatro retas pedidas) — verifique unidade/coeficientes se quiser. Lembre que a tangente tem inclinação igual à derivada no ponto e a normal tem inclinação igual ao inverso negativo dessa derivada. Vai dar tudo certo na prova; respira, você já fez a parte mais chata.

Resposta

Tangente em x=2: y=65x-128
Normal em x=2: y=-\dfrac{1}{65}x+\dfrac{132}{65}
Tangente em x=-2: y=-63x-128
Normal em x=-2: y=\dfrac{1}{63}x-\dfrac{124}{63}

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