Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal ao gráfico da função
dada por:
nos pontos de abscissas 2 e -2.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
nos pontos cujas abscissas são e . - A função dada é
. - Para cada abscissa
precisamos: - calcular a ordenada
(ou seja, o ponto no gráfico); - encontrar a derivada
e avaliá‑la em para obter a inclinação da tangente; - usar a forma ponto‑inclinação da reta para escrever a equação da tangente;
- obter a equação da normal, cuja inclinação é o inverso negativo da inclinação da tangente.
- calcular a ordenada
Passo 2
Calcular as ordenadas dos pontos:
logo o ponto em
é
.
logo o ponto em
é
.
Passo 3
Calcular a derivada
e relembrar as regras usadas.
- Regra do poder (power rule): para
vale . - Regra da constante multiplicativa: para
vale . - Derivada de
é ; derivada de constante é .
Aplicando a essas regras em
:
Passo 4
Inclinação da reta tangente no ponto com
:
Portanto a tangente em
tem inclinação
.
Passo 5
Equação da tangente em
usando a forma ponto‑inclinação
:
Simplificando para a forma
:
Passo 6
Inclinação da reta normal em
: é o inverso negativo da inclinação da tangente,
Equação da normal (forma ponto‑inclinação):
Colocando em forma reduzida:
Passo 7
Inclinação da reta tangente no ponto com
:
Logo a tangente em
tem inclinação
.
Passo 8
Equação da tangente em
pela forma ponto‑inclinação:
Simplificando:
Passo 9
Inclinação da reta normal em
: inverso negativo de
,
Equação da normal (ponto‑inclinação):
Colocando em forma reduzida:
Passo 10
Resumo final (as quatro retas pedidas) — verifique unidade/coeficientes se quiser. Lembre que a tangente tem inclinação igual à derivada no ponto e a normal tem inclinação igual ao inverso negativo dessa derivada. Vai dar tudo certo na prova; respira, você já fez a parte mais chata.
Resposta
Tangente em
:
Normal em :
Tangente em :
Normal em :
Normal em
Tangente em
Normal em