Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
Resolução:
A função pode ser escrita assim:
, com
Então:
Então:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede sua derivada em relação a
:
- Função:
. - Pedido: encontrar
.
Passo 2
Ideia principal (regra da cadeia). Quando temos uma função composta
com
, a derivada é dada por
Aqui
é a função intermediária que depende de
. Essa fórmula diz: derivar a parte de fora em relação a
e multiplicar pela derivada da parte de dentro em relação a
. É a ferramenta que vamos usar.
Passo 3
Identificar as partes da composição no nosso problema:
- Parte externa:
. - Parte interna:
.
Escrevendofica claro que a regra da cadeia se aplica.
Passo 4
Derivar a parte externa em relação a
. Usando a regra potência
, obtemos
Aqui
representa
, mas por enquanto deixamos como
para aplicar a cadeia.
Passo 5
Derivar a parte interna em relação a
. A função interna é um polinômio; derivada termo a termo:
Explicando: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
Substituindo
volta para a variável
:
Passo 7
Simplificar a expressão factorando
:
Se preferir fatorar ainda mais, usando
, obtém-se a forma
Pequena checagem numérica (opcional): para
, a forma
dá
. Dá para substituir na expressão original e verificar consistência se for preciso.