Derivar as funções numeradas de 17 a 24 .
y=\left(x^{2}-2 x\right)^{3}

Resolução:

A função pode ser escrita assim: y=u^{3}, com u=x^{2}-2 x
\frac{d y}{d u}=3 u^{2}
\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=2 \mathrm{x}-2 \Rightarrow \mathrm{du}=(2 \mathrm{x}-2) \mathrm{dx}
Então:
\begin{aligned} & \frac{d y}{d u}=\frac{d y}{(2 x-2) d x}=3\left(x^{2}-2 x\right)^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=(2 x-2) \cdot 3\left(x^{2}-2 x\right)^{2}=6(x-1)\left(x^{2}-2 x\right)^{2} \\ & \frac{d y}{d x}=6(x-1)\left(x^{2}-2 x\right)^{2} \end{aligned} ]

Passo 1

O enunciado dá a função e pede sua derivada em relação a x:
  • Função: y=\left(x^{2}-2x\right)^{3}.
  • Pedido: encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Ideia principal (regra da cadeia). Quando temos uma função composta y=f(u) com u=g(x), a derivada é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui u é a função intermediária que depende de x. Essa fórmula diz: derivar a parte de fora em relação a u e multiplicar pela derivada da parte de dentro em relação a x. É a ferramenta que vamos usar.

Passo 3

Identificar as partes da composição no nosso problema:
  • Parte externa: f(u)=u^{3}.
  • Parte interna: u(x)=x^{2}-2x.
    Escrevendo y=f(u(x)) fica claro que a regra da cadeia se aplica.

Passo 4

Derivar a parte externa em relação a u. Usando a regra potência \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{\,n-1}, obtemos
\frac{dy}{du}=3u^{2}.
Aqui u representa x^{2}-2x, mas por enquanto deixamos como u para aplicar a cadeia.

Passo 5

Derivar a parte interna em relação a x. A função interna é um polinômio; derivada termo a termo:
u(x)=x^{2}-2x \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx}=2x-2.
Explicando: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de -2x é -2.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=3u^{2}\cdot(2x-2).
Substituindo u=x^{2}-2x volta para a variável x:
\frac{dy}{dx}=3\left(x^{2}-2x\right)^{2}\cdot(2x-2).

Passo 7

Simplificar a expressão factorando 2x-2=2(x-1):
\frac{dy}{dx}=3\left(x^{2}-2x\right)^{2}\cdot 2(x-1)=6(x-1)\left(x^{2}-2x\right)^{2}.
Se preferir fatorar ainda mais, usando x^{2}-2x=x(x-2), obtém-se a forma
\frac{dy}{dx}=6(x-1)\,x^{2}(x-2)^{2}.
Pequena checagem numérica (opcional): para x=3, a forma 6(x-1)\left(x^{2}-2x\right)^{2} 6\cdot2\cdot(9-6)^{2}=12\cdot3^{2}=108. Dá para substituir na expressão original e verificar consistência se for preciso.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=6(x-1)\left(x^{2}-2x\right)^{2}

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