Derivar e Siuplificar
P(y)=log e raizl+yl-y

Passo 1

Neste exercício queremos derivar e simplificar a função
P(y)=lnraizl+yl-y
O conteúdo envolvido é derivada de logaritmo natural e simplificação algébrica usando regras de log e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz quadrada como potência tfrac12 dentro do logaritmo:
P(y)=lnl(l(tfracl+yl-yr)^1/2r)
Como ln(u^alpha)=alphaln(u), obtemos
P(y)=tfrac12lnl(tfracl+yl-yr).

Passo 3

Em seguida, aplicamos a propriedade do logaritmo de quociente:
lnl(tfracl+yl-yr)=ln(l+y)-ln(l-y)
Logo,
P(y)=tfrac12l[ln(l+y)-ln(l-y)r]

Passo 4

Agora derivamos termo a termo usando tfracddyln(u)=u'/u. Temos
$$\frac{d}{dy}\ln(l+y)=\frac{1}{l+y},\quad\frac{d}{dy}\ln(l-y)=-\frac{1}{l-y}.
ddyln(l+y)=1l+y,ddyln(l-y)=-1l-y P’(y)=\tfrac12\Bigl(\frac{1}{l+y}-\bigl(-\frac{1}{l-y}\bigr)\Bigr)=\tfrac12\Bigl(\frac{1}{l+y}+\frac{1}{l-y}\Bigr).$$

Passo 5

Por fim, somamos as frações:
1l+y+1l-y=(l-y)+(l+y)(l+y)(l-y)=2ll^2-y^2
Multiplicando por tfrac12 resulta em
$$P’(y)=\frac{l}{l2-y2}.
$$

Resposta

P'(y)=dfracll^2-y^2

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