Derive.
20. g(z)=zsec z+tg z

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(z)=zsec z+tan z
O conteúdo principal aqui é derivação de quociente e uso de identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Usamos a identidade
(sec z+tan z)(sec z-tan z)=sec^2z-tan^2z=1,
logo
1sec z+tan z=sec z-tan z

Passo 3

Substituindo no g(z), obtemos
g(z)=zl(sec z-tan zr),
uma forma de produto que é mais fácil de derivar.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: se
g(z)=zcdot h(z),
então
g'(z)=1cdot h(z)+zcdot h'(z)
Aqui h(z)=sec z-tan z, logo
h'(z)=ddz(sec z)-ddz(tan z) =sec ztan z-sec^2z

Passo 5

Substituindo em g'(z), ficamos com
g'(z)=l(sec z-tan zr) +zl(sec ztan z-sec^2zr)
Opcionalmente, podemos fatorar sec z-tan z:
sec ztan z-sec^2z =-sec z(sec z-tan z),
portanto
g'(z)=(sec z-tan z)l(1-zsec zr)

Resposta

g'(z)=sec z-tan z+zl(sec ztan z-sec^2zr)
ou, de forma fatorada,
g'(z)=(sec z-tan z)l(1-zsec zr)

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