Seja
um subconjunto de
, e sejam
Encontre a dimensão do espaço vetorial quociente
.
Passo 1
O enunciado apresenta
e pede
.
O conteúdo necessário envolve cohomologia de de Rham (campos vetoriais sem rotor são formas fechadas, gradientes são formas exatas) e a dualidade de Alexander para relacionar a cohomologia do complemento à homologia de .
O conteúdo necessário envolve cohomologia de de Rham (campos vetoriais sem rotor são formas fechadas, gradientes são formas exatas) e a dualidade de Alexander para relacionar a cohomologia do complemento à homologia de
Passo 2
Uma forma diferencial de grau 1 em se identifica com um campo vetorial
. O fato de equivale a dizer que a correspondente forma é fechada, e equivale a forma exata. Logo
isto é, o espaço de cohomologia de Rham de grau 1 do domínio .
Passo 3
Pelo teorema de de Rham existe um isomorfismo
onde
é a cohomologia singular com coeficientes em .
Passo 4
Pela dualidade de Alexander para (equivalente a
), temos
isto é, a cohomologia de grau 1 do complemento é isomorfa à homologia reduzida de grau 1 de
.
Passo 5
Portanto
que é o número de ciclos independentes (laços) em
, também chamado de primeiro número de Betti de
.
Resposta
.