Seja X um subconjunto de R^3, e sejam
r V=F mid F:(R^3-X) longrightarrow R^3 com rot(F)=0 W=F mid F:(R^3-X) longrightarrow R^3 com F=grad(g)
Encontre a dimensão do espaço vetorial quociente V / W.

Passo 1

O enunciado apresenta
e pede .
O conteúdo necessário envolve cohomologia de de Rham (campos vetoriais sem rotor são formas fechadas, gradientes são formas exatas) e a dualidade de Alexander para relacionar a cohomologia do complemento à homologia de .

Passo 2

Uma forma diferencial de grau 1 em se identifica com um campo vetorial . O fato de equivale a dizer que a correspondente forma é fechada, e equivale a forma exata. Logo
isto é, o espaço de cohomologia de Rham de grau 1 do domínio .

Passo 3

Pelo teorema de de Rham existe um isomorfismo
onde é a cohomologia singular com coeficientes em .

Passo 4

Pela dualidade de Alexander para (equivalente a ), temos
isto é, a cohomologia de grau 1 do complemento é isomorfa à homologia reduzida de grau 1 de .

Passo 5

Portanto
que é o número de ciclos independentes (laços) em , também chamado de primeiro número de Betti de .

Resposta

.

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