Calcule o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é r(t)=t i+raiz[3]t^2 j para 1 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
r(t)=t,i+raiz[3]t^2;j
no intervalo 1<= t<=4 e pede o comprimento do arco.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano, usando a fórmula
s=integralt0^t1l|r'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada vetor
r'(t)=ddtl(t,ir)+ddtl(t^2/3,jr) =i+23,t^-1/3,j

Passo 3

A norma de r'(t) é
l|r'(t)r| =raiz1^2+l(23t^-1/3r)^2 =raiz1+49,t^2/3 =raiz9,t^2/3+43,t^1/3
Logo o comprimento é
s=integral1^4raiz9,t^2/3+43,t^1/3,dt

Passo 4

Para integrar, fazemos a substituição
u=t^1/3Longrightarrow t=u^3, dt=3,u^2,du
Quando t=1 temos u=1, e quando t=4 temos u=4^1/3.
No integrando
t^2/3=u^2, t^1/3=u, dt=3u^2du,
portanto
s=integralu=1^u=4^1/3 raiz9u^2+43u,(3u^2du) =integral1^4^1/3u,raiz9u^2+4;du

Passo 5

Para integral uraiz9u^2+4,du usamos v=9u^2+4, dv=18u,du, u,du=tfracdv18.
Então
integral uraiz9u^2+4,du =118integral v^1/2dv =118cdot23v^3/2 =127(9u^2+4)^3/2+C

Passo 6

Voltando aos limites u=1 e u=4^1/3, obtemos
s=127l[(9u^2+4)^3/2r]1^4^1/3 =127l[(9,(4^2/3)+4)^3/2-(9cdot1^2+4)^3/2r]
Note que 4^2/3=(4^1/3)^2. Também 9cdot1^2+4=13.

Resposta

s=(9cdot4^2/3+4)^3/2-13^3/227

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