Calcule o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é
para
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
no intervalo e pede o comprimento do arco.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano, usando a fórmula
no intervalo
O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano, usando a fórmula
Passo 2
Calculamos a derivada vetor
Passo 3
A norma de
r'(t) é
Logo o comprimento é
Passo 4
Para integrar, fazemos a substituição
Quando
t=1 temos
u=1 , e quando
t=4 temos
u=4^1/3 .
No integrando
No integrando
portanto
Passo 5
Para
integral uraiz9u^2+4,du usamos
v=9u^2+4 ,
dv=18u,du ,
u,du=tfracdv18 .
Então
Então
Passo 6
Voltando aos limites
u=1 e
u=4^1/3 , obtemos
Note que
4^2/3=(4^1/3)^2 . Também
9cdot1^2+4=13 .