Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .
f(x)=\frac{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede derivar a função
f(x)=\frac{\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}.
O conteúdo necessário envolve a regra do quociente, a regra da cadeia e a derivada de polinômios.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, identifiquemos
u(x)=\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)^{2}, \quad v(x)=x^{4}+x^{2}+1, \quad f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia. Seja g(x)=x^{2}-2x+2, então u(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2} e
g'(x)=2x-2, \qquad u'(x)=2\,g(x)\,g'(x)=2\,(x^{2}-2x+2)\,(2x-2).

Passo 4

Calculamos v'(x) derivando termo a termo:
v(x)=x^{4}+x^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad v'(x)=4x^{3}+2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =\frac{2\,(x^{2}-2x+2)\,(2x-2)\,\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr)\;-\;\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)^{2}\,(4x^{3}+2x)} {\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Passo 6

Podemos fatorar \bigl(x^{2}-2x+2\bigr) e também 2x-2=2(x-1) no numerador para ficar mais enxuto:
\begin{aligned} \text{num} &=2\,(x^{2}-2x+2)\,\bigl[ (2x-2)(x^{4}+x^{2}+1) \;-\; (x^{2}-2x+2)(2x^{3}+x) \bigr] \\[6pt] &=2\,(x^{2}-2x+2)\,\bigl[ 2(x-1)(x^{4}+x^{2}+1) \;-\; x(2x^{2}-4x+4)(x^{2}-2x+2)/x \bigr]. \end{aligned}
Mas podemos deixar a forma fatorada anterior como expressão final.]

Resposta

f'(x) =\frac{2\,(x^{2}-2x+2)\,(2x-2)\,\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr)\;-\;(x^{2}-2x+2)^{2}\,(4x^{3}+2x)} {\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr)^{2}}.

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