Para calcular a integral J=\int \frac{-\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{2}(x)-3 \cos (x)} d x siga os seguintes passos.
a) Determine constantes A e B, tais que \frac{1}{t(t-3)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-3}.
Resposta: A=-1 / 3 e B=1 / 3.
b) Reescreva J utilizando a substituição u=\cos (x).
Resposta: J=\int \frac{1}{u^{2}-3 u} d u.
c) Usando os itens anteriores, detemine J.
Resposta: J=\frac{1}{3} \ln \left|\frac{\cos (x)-3}{\cos (x)}\right|+C.

Passo 1

O enunciado pede calcular
J = \int \frac{-\operatorname{sen}(x)}{\cos^2(x)-3\cos(x)}\,dx
usando frações parciais e a substituição u=\cos(x). Vamos primeiro decompor o denominador como função de uma variável genérica t.

Passo 2

Queremos constantes A e B tais que
\frac{1}{t(t-3)} \;=\; \frac{A}{t} \;+\;\frac{B}{t-3}.
Multiplicando ambos os lados por t(t-3) vem
1 = A\,(t-3) + B\,t.
Para t=0: 1 = -3A A = -\tfrac{1}{3}.
Para t=3: 1 = 3B B = \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Fazendo u = \cos(x) implica du = -\operatorname{sen}(x)\,dx. Assim
J = \int \frac{-\operatorname{sen}(x)}{\cos^2(x)-3\cos(x)}\,dx = \int \frac{du}{u^2-3u} = \int \frac{du}{u(u-3)}.

Passo 4

Aplicando a decomposição obtida:
\frac{1}{u(u-3)} = -\tfrac{1}{3}\,\frac{1}{u} + \tfrac{1}{3}\,\frac{1}{u-3}.
Logo
J = -\tfrac{1}{3}\int \frac{du}{u} \;+\;\tfrac{1}{3}\int \frac{du}{u-3} = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert u\rvert + \tfrac{1}{3}\ln\lvert u-3\rvert + C.
Reagrupando os logaritmos:
J = \tfrac{1}{3}\ln\Bigl\lvert\frac{u-3}{u}\Bigr\rvert + C.
Substituindo de volta u=\cos(x) chega-se à forma final.

Resposta

J = \frac{1}{3}\ln\Bigl\lvert\frac{\cos(x)-3}{\cos(x)}\Bigr\rvert + C.

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