Responda os itens com respeito à função f(x)=\operatorname{sen}(x) \cos (x) e à integral I=\int f(x) d x.
a) Utilize a igualdade \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 x)=\operatorname{sen}(x) \cos (x) para determinar I.
Resposta: -\frac{1}{4} \cos (2 x)+C,
b) Utilize a fórmula de integração por partes, \operatorname{com} u=\operatorname{sen}(x) e d v=\cos (x) d x, para determinar I.
Resposta: \frac{1}{2} \operatorname{sen}^{2}(x)+C.
c) As respostas dos itens acima têm aspectos diferentes. Elas são, de fato, diferentes? Explique.
Resposta: As respostas são iguais a menos de uma constante aditiva.
d) Usando um dos itens acima, calcule a área sob o gráfico de f para x \in[0, \pi / 3].
Resposta: Área =3 / 8.

Passo 1

O enunciado trata da função f(x)=\sin(x)\cos(x) e pede quatro coisas:
  1. (a) calcular a primitiva I=\int f(x)\,dx usando a identidade de ângulo duplo \tfrac12\sin(2x)=\sin(x)\cos(x);
  2. (b) calcular a mesma primitiva por integração por partes com u=\sin(x) e dv=\cos(x)\,dx;
  3. (c) comparar as duas antiderivadas encontradas e discutir se são diferentes;
  4. (d) usar uma das expressões para obter a área sob f em [0,\pi/3].
    Os conceitos principais são: identidade trigonométrica de ângulo duplo, método de integração por partes e cálculo de integral definida.

Passo 2

Para (a), substituímos
\sin(x)\cos(x)=\tfrac12\sin(2x)
então
I=\int \sin(x)\cos(x)\,dx =\int \tfrac12\sin(2x)\,dx =\tfrac12\int \sin(2x)\,dx.
Como \int \sin(2x)\,dx=-\tfrac12\cos(2x), obtemos
I=-\tfrac14\cos(2x)+C.

Passo 3

Para (b), aplicamos integração por partes com
u=\sin(x),\quad dv=\cos(x)\,dx
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du=\cos(x)\,dx,\quad v=\int \cos(x)\,dx=\sin(x).
A fórmula dá
I=\int \sin(x)\cos(x)\,dx =uv-\int v\,du =\sin(x)\sin(x)-\int \sin(x)\cos(x)\,dx =\sin^2(x)-I.
Isolando I, vem
2I=\sin^2(x) \quad\Longrightarrow\quad I=\tfrac12\sin^2(x)+C.

Passo 4

Para (c), usamos a identidade de cosseno duplo
\cos(2x)=1-2\sin^2(x)
e escrevemos
-\tfrac14\cos(2x) =-\tfrac14\bigl(1-2\sin^2(x)\bigr) =-\tfrac14+\tfrac12\sin^2(x) =\tfrac12\sin^2(x)+\underbrace{\bigl(-\tfrac14\bigr)}_{C'}.
Portanto as duas primitivas diferem apenas por uma constante aditiva.

Passo 5

Para (d), escolhemos a forma I=\tfrac12\sin^2(x) e calculamos
\int_{0}^{\pi/3}\sin(x)\cos(x)\,dx =\Bigl[\tfrac12\sin^2(x)\Bigr]_{0}^{\pi/3} =\tfrac12\bigl(\sin^2(\tfrac\pi3)-\sin^2(0)\bigr) =\tfrac12\bigl((\tfrac{\sqrt3}{2})^2-0\bigr) =\tfrac12\cdot\tfrac34 =\tfrac38.

Resposta

(a) \displaystyle I=-\tfrac14\cos(2x)+C
(b) \displaystyle I=\tfrac12\sin^2(x)+C
(c) As duas expressões são iguais a menos de uma constante aditiva.
(d) Área =\tfrac38.

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