Responda os itens com respeito à função f(x)=\operatorname{sen}(x) \cos (x) e à integral I=\int f(x) d x.
a) Utilize a igualdade \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 x)=\operatorname{sen}(x) \cos (x) para determinar I.
Resposta: -\frac{1}{4} \cos (2 x)+C,
b) Utilize a fórmula de integração por partes, \operatorname{com} u=\operatorname{sen}(x) e d v=\cos (x) d x, para determinar I.
Resposta: \frac{1}{2} \operatorname{sen}^{2}(x)+C.
c) As respostas dos itens acima têm aspectos diferentes. Elas são, de fato, diferentes? Explique.
Resposta: As respostas são iguais a menos de uma constante aditiva.
d) Usando um dos itens acima, calcule a área sob o gráfico de f para x \in[0, \pi / 3].
Resposta: Área =3 / 8.
Passo 1
O enunciado trata da função f(x)=\sin(x)\cos(x) e pede quatro coisas:
(a) calcular a primitiva I=\int f(x)\,dx usando a identidade de ângulo duplo \tfrac12\sin(2x)=\sin(x)\cos(x);
(b) calcular a mesma primitiva por integração por partes com u=\sin(x) e dv=\cos(x)\,dx;
(c) comparar as duas antiderivadas encontradas e discutir se são diferentes;
(d) usar uma das expressões para obter a área sob f em [0,\pi/3].
Os conceitos principais são: identidade trigonométrica de ângulo duplo, método de integração por partes e cálculo de integral definida.
(a) \displaystyle I=-\tfrac14\cos(2x)+C
(b) \displaystyle I=\tfrac12\sin^2(x)+C
(c) As duas expressões são iguais a menos de uma constante aditiva.
(d) Área =\tfrac38.