Derive cada função dos exercícios 8 a 16 .
f(x)=\frac{x \operatorname{sec} x}{x^{2}+2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x\operatorname{sec} x}{x^{2}+2x+3}\,.
Para resolver, usaremos:
– Regra do quociente;
– Regra do produto;
– Derivada de \operatorname{sec} x, que é \operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x\operatorname{sec} x \quad\text{e}\quad v(x)=x^{2}+2x+3.
Segundo a regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x) pela regra do produto:
u'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot\operatorname{sec} x + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr) =1\cdot\operatorname{sec} x + x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x) =\operatorname{sec} x + x\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 4

Calculamos v'(x) diretamente:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x+3\bigr) =2x+2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do quociente:
f'(x) =\frac{\bigl(\operatorname{sec} x + x\operatorname{sec} x\tan x\bigr)(x^{2}+2x+3) - \bigl(x\operatorname{sec} x\bigr)(2x+2)}{(x^{2}+2x+3)^{2}}.

Passo 6

Para simplificar, fatoramos \operatorname{sec} x no numerador:
\begin{aligned} \text{num} &=\operatorname{sec} x\Bigl[(1+x\tan x)(x^{2}+2x+3)-x(2x+2)\Bigr]\\\ &=\operatorname{sec} x\Bigl[x^{2}+2x+3 + x\tan x\,(x^{2}+2x+3) -2x^{2}-2x\Bigr]\\\ &=\operatorname{sec} x\Bigl[(3 - x^{2}) + x(x^{2}+2x+3)\tan x\Bigr]. \end{aligned}
Logo,
f'(x) =\frac{\operatorname{sec} x\bigl[x(x^{2}+2x+3)\tan x + (3 - x^{2})\bigr]}{(x^{2}+2x+3)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{sec} x\bigl[x(x^{2}+2x+3)\tan x + 3 - x^{2}\bigr]}{(x^{2}+2x+3)^{2}}.

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