Em cada item, faça o que se pede:
\left(0,7\right. pontos) Determine f^{\prime}(x) para f(x)=\frac{e^{x}}{\log _{2}(x)}\left(x^{2}+2 x\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{x}}{\log_{2}(x)}\bigl(x^{2}+2x\bigr).
Conteúdo: regra do quociente, regra do produto e derivada de \log_{2}(x).

Passo 2

Escrevemos f como quociente
f(x)=\frac{N(x)}{D(x)},
onde
N(x)=e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr),
D(x)=\log_{2}(x)=\frac{\ln x}{\ln 2}.
Derivadas necessárias:
N'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(x^{2}+2x)\bigr] =e^{x}(x^{2}+2x)+e^{x}(2x+2) =e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr),
D'(x)=\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{\ln x}{\ln 2}\Bigr) =\frac{1}{x\,\ln 2}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl[D(x)\bigr]^{2}}.

Passo 4

Substituindo N, N', D e D':
f'(x) =\frac{e^{x}(x^{2}+4x+2)\,\frac{\ln x}{\ln 2} -\;e^{x}(x^{2}+2x)\,\frac{1}{x\,\ln 2}} {\bigl(\frac{\ln x}{\ln 2}\bigr)^{2}}.
Fatoramos e^{x} e 1/\ln 2 e simplificamos pelo quadrado de \ln x/\ln2, obtendo
f'(x) =\frac{e^{x}}{\ln 2}\;\frac{\,(x^{2}+4x+2)\ln x-\frac{x^{2}+2x}{x}\,} {\bigl(\frac{\ln x}{\ln2}\bigr)^{2}} =\frac{e^{x}\,\ln 2}{(\ln x)^{2}} \Bigl[(x^{2}+4x+2)\ln x-(x+2)\Bigr].

Resposta

f'(x) =\frac{e^{x}\,\ln 2}{(\ln x)^{2}} \Bigl[(x^{2}+4x+2)\ln x-(x+2)\Bigr].

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