Seja p in Pn e definimos a função Lp: Pn^* R por Lp(f)=f(p). Mostre que Lp é um funcional linear e, portanto é um elemento do bidual de Pn.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial Pn de todos os polinômios de grau até n, seu dual Pn^* (o conjunto de todos os funcionais lineares de Pn em R) e define, para um polinômio fixo pinPn, a aplicação
Lpcolon Pn^*toR, Lp(f)=f(p)
O objetivo é mostrar que Lp é linear, ou seja, pertence ao dual de Pn^*, que por definição é o bidual Pn^**.

Passo 2

Recordemos que uma aplicação entre espaços vetoriais Tcolon Vto W é linear se, para quaisquer escalares alpha,beta e quaisquer vetores v1,v2in V,
T(alpha v1+beta v2) = alpha,T(v1) + beta,T(v2)
No nosso caso, V=Pn^*, W=R e T=Lp. Os “vetores” em V são funcionais f,gcolon PntoR.

Passo 3

Tomemos quaisquer funcionais f,ginPn^* e escalares alpha,betainR. Então o funcional alpha f+beta g age em p assim:
Lp(alpha f+beta g) = (alpha f+beta g)(p)
Como f e g são lineares sobre Pn, pelo fato de somar e escalar valores,
(alpha f+beta g)(p) = alpha,f(p) + beta,g(p)
Mas isso é exatamente
alpha,Lp(f) + beta,Lp(g)
Logo
Lp(alpha f+beta g) = alpha,Lp(f) + beta,Lp(g),
ou seja, Lp satisfaz a linearidade.

Passo 4

Como mostramos que Lpcolon Pn^*toR obedece à definição de aplicação linear, concluímos que Lp é um funcional em Pn^*. Por definição, isso significa
Lpin (Pn^*)^* = Pn^**,
isto é, Lp é um elemento do bidual de Pn.

Resposta

Lp é linear e, portanto, LpinPn^**.

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