Seja
e definimos a função
por
. Mostre que
é um funcional linear e, portanto é um elemento do bidual de
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todos os polinômios de grau até
, seu dual
(o conjunto de todos os funcionais lineares de
em
) e define, para um polinômio fixo
, a aplicação
O objetivo é mostrar que
é linear, ou seja, pertence ao dual de
, que por definição é o bidual
.
Passo 2
Recordemos que uma aplicação entre espaços vetoriais
é linear se, para quaisquer escalares
e quaisquer vetores
,
No nosso caso,
,
e
. Os “vetores” em
são funcionais
.
Passo 3
Tomemos quaisquer funcionais
e escalares
. Então o funcional
age em
assim:
Como
e
são lineares sobre
, pelo fato de somar e escalar valores,
Mas isso é exatamente
Logo
ou seja,
satisfaz a linearidade.
Passo 4
Como mostramos que
obedece à definição de aplicação linear, concluímos que
é um funcional em
. Por definição, isso significa
isto é,
é um elemento do bidual de
.