Seja
e definimos a função
por
, ou seja,
. Mostre que
é um funcional linear. Considere
números reais distintos e prove que
é uma base do dual de
.
(Dica: Sabemos que o dual de
é o espaço
de todas as transformações lineares de
em
, ou seja, de todos os funcionais lineares de
. Sabemos que
. Assim, basta mostrar que
é linearmente independente, ou seja,
Para provar a implicação acima, use polinômios do tipo
).
(Dica: Sabemos que o dual de
Passo 1
O enunciado define a função
por
isto é, se
então
Precisamos mostrar que cada
é linear e, dado um conjunto de pontos distintos
, provar que
é uma base de
.
Passo 2
Verificamos a linearidade de
conferindo aditividade e homogeneidade. Para
e
temos
Logo,
é um funcional linear.
Passo 3
Sabemos que
e, portanto,
. Para mostrar que
é base basta provar que esses
funcionais são linearmente independentes.
Passo 4
Suponha que existam escalares
tais que
como funcional zero, isto é,
Passo 5
Para mostrar que cada
, escolhemos o polinômio
que tem grau
. Note que para
temos
, e
pois os
são todos distintos. Avaliando a combinação linear no polinômio
obtemos
e, como
, segue
. Como isso vale para todo
, todos os
são nulos, provando a independência linear.
Resposta
Mostramos que cada
é linear e que
é um conjunto de
funcionais linearmente independentes em
. Como
, concluímos que
é uma base de
.