Seja a in R e definimos a função fa: Pn R por fa(p)=p(a), ou seja, fa(t mapsto sumj=0^n cj t^j)=sumk=0^n ck a^k. Mostre que fa é um funcional linear. Considere a0, ldots, an números reais distintos e prove que fa0, ldots, fan é uma base do dual de Pn.
(Dica: Sabemos que o dual de Pn é o espaço Pn^*=L(Pn, R) de todas as transformações lineares de Pn em R, ou seja, de todos os funcionais lineares de Pn. Sabemos que dim(Pn)=dim(Pn^*)=n+1. Assim, basta mostrar que fa0, ldots, fan é linearmente independente, ou seja,
alpha0 fa0+ldots+alphan fan=0 Longrightarrow alpha0=ldots=alphan=0
Para provar a implicação acima, use polinômios do tipo prodk=0, k neq j^n(x-ak) ).

Passo 1

O enunciado define a função fa:PntoR por
fal(pr)=p(a),
isto é, se p(t)=sumj=0^ncjt^j então
fa(p)=sumk=0^ncka^k
Precisamos mostrar que cada fa é linear e, dado um conjunto de pontos distintos a0,dots,an, provar que fa0,dots,fan é uma base de Pn^*.

Passo 2

Verificamos a linearidade de fa conferindo aditividade e homogeneidade. Para p,qinPn e lambdainR temos
fa(p+q)=(p+q)(a)=p(a)+q(a)=fa(p)+fa(q),
fa(lambda p)=(lambda p)(a)=lambda,p(a)=lambda,fa(p)
Logo, fa é um funcional linear.

Passo 3

Sabemos que dimPn=n+1 e, portanto, dimPn^*=n+1. Para mostrar que fa0,dots,fan é base basta provar que esses n+1 funcionais são linearmente independentes.

Passo 4

Suponha que existam escalares alpha0,dots,alphan tais que
alpha0fa0+alpha1fa1+cdots+alphanfan=0
como funcional zero, isto é,
alpha0p(a0)+alpha1p(a1)+cdots+alphanp(an)=0 para todo pinPn

Passo 5

Para mostrar que cada , escolhemos o polinômio
que tem grau . Note que para temos , e
pois os são todos distintos. Avaliando a combinação linear no polinômio obtemos
e, como , segue . Como isso vale para todo , todos os são nulos, provando a independência linear.

Resposta

Mostramos que cada fa é linear e que fa0,dots,fan é um conjunto de n+1 funcionais linearmente independentes em Pn^*. Como dimPn^*=n+1, concluímos que fa0,dots,fan é uma base de Pn^*.

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