Derive.
f(x)=x^{3} e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x^{3}e^{-3x}.
Este é um produto de duas funções: u(x)=x^3 e v(x)=e^{-3x}. Para derivar, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui precisamos de u'(x) e de v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^3\bigr) = 3x^2,
e, pela regra da cadeia,
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x}\bigr) = e^{-3x}\cdot(-3) = -3e^{-3x}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', obtemos
f'(x) = 3x^2\,e^{-3x} + x^3\bigl(-3e^{-3x}\bigr) = e^{-3x}\bigl(3x^2 - 3x^3\bigr).

Resposta

f'(x) = e^{-3x}\bigl(3x^2 - 3x^3\bigr).

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