Derive.
f(x)=\cos ^{3} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(\cos(x^3)\bigr)^3.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções compostas em dois níveis: primeiro a potência cúbica e depois a função cosseno aplicada a x^3.

Passo 2

Vamos ver f(x) como a composição de três funções:
u = x^3,\quad v = \cos(u),\quad f = v^3.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{df}{dv}\,\frac{dv}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial:
\frac{df}{dv} = 3v^2 = 3\bigl(\cos(x^3)\bigr)^2,
\frac{dv}{du} = \frac{d}{du}\cos(u) = -\sin(u) = -\sin(x^3),
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}x^3 = 3x^2.

Passo 4

Agora multiplicamos:
f'(x) = 3\bigl(\cos(x^3)\bigr)^2 \;\times\; \bigl(-\sin(x^3)\bigr)\;\times\;3x^2 = -9x^2\bigl(\cos(x^3)\bigr)^2\sin(x^3).

Resposta

f'(x) = -9x^2\cos^2\bigl(x^3\bigr)\,\sin\bigl(x^3\bigr).

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