Derive.
f(x)=\frac{1+e^{3 x}}{1-e^{5 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1+e^{3x}}{1-e^{5x}}.
Para isso vamos usar a regra do quociente e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar exponenciais.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+e^{3x} \quad\text{e}\quad v(x)=1-e^{5x}.
Aplicando a regra da cadeia às exponenciais, temos
u'(x)=3e^{3x}, \quad v'(x)=-5e^{5x}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{3e^{3x}(1-e^{5x})-\bigl(1+e^{3x}\bigr)(-5e^{5x})}{\bigl(1-e^{5x}\bigr)^2}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
3e^{3x}(1-e^{5x})+5e^{5x}(1+e^{3x}) =3e^{3x}-3e^{8x}+5e^{5x}+5e^{8x} =3e^{3x}+5e^{5x}+2e^{8x}.
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f'(x) =\frac{3e^{3x}+5e^{5x}+2e^{8x}}{\bigl(1-e^{5x}\bigr)^2} =\frac{e^{3x}\bigl(3+5e^{2x}+2e^{5x}\bigr)}{\bigl(1-e^{5x}\bigr)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{3e^{3x}+5e^{5x}+2e^{8x}}{(1-e^{5x})^2} =\frac{e^{3x}\bigl(3+5e^{2x}+2e^{5x}\bigr)}{(1-e^{5x})^2}.

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