Derive.
f(x)=\left(\ln \left(x^{2}+1\right)\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr)^{3}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta: a função externa é u\mapsto u^{3} e a interna é x\mapsto \ln(x^{2}+1).

Passo 2

Definimos
g(u)=u^{3}, \quad h(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
então f(x)=g\bigl(h(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 3

Calculamos g'(u). Como g(u)=u^{3}, temos
g'(u)=3u^{2}.
Logo,
g'\bigl(h(x)\bigr)=3\bigl(h(x)\bigr)^{2} =3\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}.

Passo 4

Agora derivamos h(x)=\ln(x^{2}+1). Pela regra da cadeia aplicada ao logaritmo:
h'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) =\frac{1}{x^{2}+1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1) =\frac{1}{x^{2}+1}\cdot(2x) =\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x), obtemos
f'(x) =3\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}\;\times\;\frac{2x}{x^{2}+1} =\frac{6x\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}}{x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{6x\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}}{x^{2}+1}.

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