Seja y=e^{x} \cos x. Verifique que \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
y = e^{x}\cos x
satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\,\frac{dy}{dx} + 2\,y = 0.
Para isso vamos usar a regra do produto e as derivadas de e^{x}, \cos x e \sin x.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y' aplicando a regra do produto em y = e^{x}\cdot\cos x:
derivada de e^{x} é e^{x} e derivada de \cos x é -\sin x. Logo,
y' = \frac{dy}{dx} = e^{x}\cos x + e^{x}(-\sin x) = e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 3

Calcular a segunda derivada y'' derivando \displaystyle y' = e^{x}(\cos x - \sin x).
Usando novamente a regra do produto e as derivadas de \cos x e \sin x:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(\cos x - \sin x)\bigr] = e^{x}(\cos x - \sin x) + e^{x}\bigl(-\sin x - \cos x\bigr) = e^{x}\Bigl[(\cos x - \sin x)+(-\sin x - \cos x)\Bigr] = -2\,e^{x}\sin x.

Passo 4

Substituir y, y' e y'' em \displaystyle y'' - 2y' + 2y e verificar que o resultado é zero:
y'' - 2y' + 2y = \bigl(-2e^{x}\sin x\bigr) -2\bigl[e^{x}(\cos x - \sin x)\bigr] +2\bigl(e^{x}\cos x\bigr).
Distributivo e agrupando termos em e^{x}:
= -2e^{x}\sin x -2e^{x}\cos x +2e^{x}\sin x +2e^{x}\cos x = 0.
Todo os termos se cancelam, confirmando que a combinação vale zero.

Resposta

A função y = e^{x}\cos x satisfaz
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\,\frac{dy}{dx} + 2\,y = 0.

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