Derive.
f(x)=\left(\ln \left(x^{2}+1\right)\right)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\bigl(\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr)^{3}
e pede sua derivada. Trata-se de uma composição de funções, então vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
g(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)
e
h(u)=u^{3},
de modo que f(x)=h\bigl(g(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).

Passo 3

Calculamos primeiro
h'(u)=3u^{2},
então
h'\bigl(g(x)\bigr)=3\bigl(g(x)\bigr)^{2}=3\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}.

Passo 4

Agora derivamos
g(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Pela regra da derivada do logaritmo e da derivada de x^{2}+1,
g'(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Assim, juntando tudo,
f'(x) =3\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}\;\cdot\;\frac{2x}{x^{2}+1} =\frac{6x\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}}{x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{6x\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}}{x^{2}+1}.

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