Derive f(x)=\ln (x) duas vezes.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas da função
f(x)=\ln(x).
O conteúdo necessário é a regra de derivação do logaritmo e a regra de potência para derivar x^{-1}.

Passo 2

Para calcular a primeira derivada, usamos que
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Para a segunda derivada, reescrevemos f'(x) como x^{-1} e aplicamos a regra de potência \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{x} f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}

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