Determine a segunda derivada de f(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função
f(x)=\sqrt{x}
O conteúdo aqui é a aplicação da regra de potência para derivação, lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2} e que a função está definida para x>0.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada usando a regra de potência: se f(x)=x^{n}, então
f'(x)=n\,x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac12, logo
f'(x)=\tfrac12\,x^{\tfrac12-1}=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12} novamente, aplicando outra vez a regra de potência com n=-\tfrac12:
f''(x)=\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,x^{-\tfrac12-1}=-\tfrac{1}{4}\,x^{-\tfrac{3}{2}}.

Resposta

f''(x)=-\frac{1}{4}\,x^{-\frac{3}{2}} \;=\; -\frac{1}{4\,x^{3/2}}.

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