Derive
f(x)=sen(sen(sen x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=senl(sen(senx)r)
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas: temos três níveis de função seno aninhados. Para resolver, vamos identificar cada “camada”, aplicar a derivada do seno e multiplicar pelos derivados dos argumentos internos.

Passo 2

Defina
u(x)=senx, v(x)=senl(u(x)r), w(x)=senl(v(x)r)
Então f(x)=w(x). Pela regra da cadeia,
f'(x)=w'(x)=ddxl[sen(v(x))r] =cosl(v(x)r)cdot v'(x)

Passo 3

Agora calcule v'(x), lembrando que v(x)=sen(u(x)). Novamente pela regra da cadeia,
v'(x)=ddxl[sen(u(x))r] =cosl(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 4

Por fim, u(x)=senx tem derivada
u'(x)=cos x
Juntando os três fatores, obtemos
f'(x) =cosl(v(x)r),cdot,cosl(u(x)r),cdot,cos x =cosl(sen(senx)r),cdot,cosl(senxr),cdot,cos x

Resposta

f'(x)=cosl(sen(senx)r),cdot,cosl(senxr),cdot,cos x

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