Determine o valor da soma

Passo 1

O enunciado pede a soma dos logaritmos em base 10
log10l(tfrac12r)+log10l(tfrac23r)+cdots+log10l(tfrac99100r)
O conteúdo é propriedade de logaritmos e produto telescópico: usaremos log10a+log10b=log10(ab) e veremos que o produto dos quocientes “telescope”.

Passo 2

Agrupando a soma em um único logaritmo, temos
sumk=1^99log10l(tfrackk+1r) =log10l(prodk=1^99tfrackk+1r)
O produto telescópico é
prodk=1^99kk+1 =1cdot2cdot3cdots992cdot3cdot4cdots100 =99!100! =1100

Passo 3

Portanto, a soma vale
log10l(tfrac1100r) =log10l(10^-2r) =-2

Resposta

-2

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