Exercício 19. (Apostol seção 14.27 exercícios 7) Calcule a esperança e a variância (se elas existirem) de uma variável aleatória X que possui
Uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança E(X) e a variância Var(X) de uma variável aleatória X que segue distribuição de Poisson com parâmetro lambda>0.
Conteúdo utilizado: definição de esperança
E(X)=sumk=0^inftyk,P(X=k),
definição de variância
Var(X)=El(X^2r)-l[E(X)r]^2,
e uso de manipulação de séries de potências.

Passo 2

Calcular a esperança
E(X)=sumk=0^inftyk,P(X=k) =sumk=0^inftyk,e^-lambda,lambda^kk!
Como o termo k=0 é zero, podemos reescrever começando em k=1, e usar k/k! = 1/(k-1)!:
E(X) =e^-lambdasumk=1^inftylambda^k(k-1)! =e^-lambdasumj=0^inftylambda^,j+1j! =lambda,e^-lambdasumj=0^inftylambda^jj! =lambda

Passo 3

Calcular o momento El[X(X-1)r], pois isso facilita achar E(X^2):
El[X(X-1)r] =sumk=0^inftyk(k-1),e^-lambda,lambda^kk!
Nos termos de série, k(k-1)/k! =1/(k-2)!, e o somatório inicia em k=2. Fazendo a troca j=k-2:
El[X(X-1)r] =e^-lambdasumk=2^inftylambda^k(k-2)! =e^-lambdasumj=0^inftylambda^,j+2j! =lambda^2,e^-lambdasumj=0^inftylambda^jj! =lambda^2

Passo 4

Obter E(X^2) e a variância. Como
El(X^2r)=El[X(X-1)r]+E(X),
temos
El(X^2r)=lambda^2+lambda
Então
Var(X) =El(X^2r)-l[E(X)r]^2 =(lambda^2+lambda)-lambda^2 =lambda

Resposta

E(X)=lambda
Var(X)=lambda

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