Derive a função.
g(r)=r^2 ln (2 r+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(r)=r^2lnl(2r+1r)
O conteúdo principal aqui é usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar esse tipo de função.

Passo 2

Separe a função em duas partes:
f(r)=r^2 e h(r)=lnl(2r+1r).
Vamos precisar da derivada de cada parte.

Passo 3

Calcule a derivada de f(r) por derivação direta de potência:
f'(r)=2r

Passo 4

Calcule a derivada de h(r) usando a regra da cadeia. Seja u(r)=2r+1, então
h(r)=lnl(u(r)r),
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h'(r)=1u(r)cdot u'(r)=12r+1cdot 2=22r+1

Passo 5

Aplique a regra do produto:
g'(r)=f'(r),h(r)+f(r),h'(r) =2rlnl(2r+1r)+r^2cdot22r+1
Podemos fatorar 2r para simplificar:
g'(r) =2rgl[lnl(2r+1r)+r2r+1gr]

Resposta

g'(r)=2rlnl(2r+1r)+2r^22r+1 ou g'(r)=2rl[lnl(2r+1r)+tfracr2r+1r]

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