Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso de equação separável (ou Bernoulli com
). Vamos reescrever em forma separável e integrar.
Passo 2
Reescrevendo
, temos
Agora separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Logo
No lado direito,
Reunindo as constantes num só
, obtemos
Passo 4
Agrupando os logaritmos:
Exponenciando:
Isolando
y :
Passo 5
Note que, ao fazer a separação, dividimos por
y(y-1) , então as soluções constantes
y=0 e
y=1 devem ser verificadas à parte:
- Se
, entãoy=0 e a equaçãoy'=0 vale, logo0 + xcdot0 = xcdot0^2 é solução.yequiv0 - Se
, entãoy=1 e a equaçãoy'=0 vale também, logo0 + xcdot1 = xcdot1^2 é solução, mas ela já aparece na forma geral parayequiv1 .K=0
Resposta
A família de soluções gerais é
com
K constante arbitrária, além da solução singular