Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime+x y=x y^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' + x,y = x,y^2
Este é um caso de equação separável (ou Bernoulli com n=2). Vamos reescrever em forma separável e integrar.

Passo 2

Reescrevendo y' = dfracdydx, temos
dydx = x,(y^2 - y)
Agora separamos as variáveis y e x:
dyy,(y-1) = x,dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1y(y-1) = -1y + 1y-1
Logo
integral dyy(y-1) = integrall(-1y + 1y-1r)dy = -lnlvert yrvert + lnlvert y-1rvert + C1
No lado direito,
integral x,dx = x^22 + C2
Reunindo as constantes num só C, obtemos
-lnlvert yrvert + lnlvert y-1rvert = x^22 + C

Passo 4

Agrupando os logaritmos:
lnl|y-1yr| = x^22 + C
Exponenciando:
y-1y = K,e^x^2/2, onde K=e^C
Isolando y:
1 - 1y = K,e^x^2/2 Longrightarrow 1y = 1 - K,e^x^2/2 Longrightarrow y = 11 - K,e^x^2/2

Passo 5

Note que, ao fazer a separação, dividimos por y(y-1), então as soluções constantes y=0 e y=1 devem ser verificadas à parte:
  • Se y=0, então y'=0 e a equação 0 + xcdot0 = xcdot0^2 vale, logo yequiv0 é solução.
  • Se y=1, então y'=0 e a equação 0 + xcdot1 = xcdot1^2 vale também, logo yequiv1 é solução, mas ela já aparece na forma geral para K=0.

Resposta

A família de soluções gerais é
y(x) = 11 - K,e^x^2/2,
com K constante arbitrária, além da solução singular
y(x) equiv 0

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